$$x_1+x_2+x_3+ x_4+x_5+ x_6=15 $$
với $ x_i\geq 0$ và $x_j\neq 2,2\leq j\leq 5 $
2/ Tìm phần dư của $\frac{x^{2025}}{(x^2+1)(x^2+x+1)} $
Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi Nobodyv3: 19-11-2022 - 22:14
Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi Nobodyv3: 19-11-2022 - 22:14
Có bao nhiêu bộ nghiệm nguyên không âm của
$$x_1+x_2+x_3+ x_4+x_5+ x_6=15 $$
với $ x_i\geq 0$ và $x_j\neq 2,2\leq j\leq 5 $
Hàm sinh cho số bộ nghiệm nguyên không âm của phương trình đã cho :
$f(x)=\left ( \frac{1-x^{16}}{1-x} \right )^2\left ( \frac{1-x^{16}}{1-x}-x^2 \right )^4=\frac{(1-x^{16})^2(1-x^2+x^3-x^{16})^4}{(1-x)^6}=$
$=(...+1)(...+x^6-2x^5+x^4+2x^3-2x^2+1)^2(1-x)^{-6}=$
$=(...+x^{12}-4x^{11}+6x^{10}-11x^8+12x^7+2x^6-12x^5+6x^4+4x^3-4x^2+1)\sum_{k=0}^{\infty}C_{k+5}^5x^k$
Số bộ nghiệm nguyên không âm của phương trình đã cho là
$\left [ x^{15} \right ]f(x)=C_8^5-4C_9^5+6C_{10}^5-11C_{12}^5+12C_{13}^5+2C_{14}^5-12C_{15}^5+6C_{16}^5+4C_{17}^5-4C_{18}^5+C_{20}^5=7956$
Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi chanhquocnghiem: 20-11-2022 - 07:48
...
Ðêm nay tiễn đưa
Giây phút cuối vẫn còn tay ấm tay
Mai sẽ thấm cơn lạnh khi gió lay
Và những lúc mưa gọi thương nhớ đầy ...
Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi Nobodyv3: 20-11-2022 - 09:12
Tìm phần dư của $\frac{x^{2025}}{(x^2+1)(x^2+x+1)} $
$\frac{x^{2025}}{(x^2+1)(x^2+x+1)}=\frac{x^{2025}}{x^4+x^3+2x^2+x+1}$
Để tìm phần dư của phép chia này, ta có thể lập một bảng có $4$ cột và $13$ hàng (Tại sao biết trước là $13$ hàng, các bạn thử nghĩ xem ?)
Gọi số điền vào hàng $i$, cột $j$ là $a_{i,j}$. Ta điền theo quy tắc sau :
$\left\{\begin{matrix}a_{1,1}=1\\a_{1,2}=0\\a_{1,3}=0\\a_{1,4}=0\\a_{k+1,1}=a_{k,2}-a_{k,1}\\a_{k+1,2}=a_{k,3}-2a_{k,1}\\a_{k+1,3}=a_{k,4}-a_{k,1}\\a_{k+1,4}=-a_{k,1} \end{matrix}\right.$
1 0 0 0 (hàng thứ nhất)
-1 -2 -1 -1
-1 1 0 1
2 2 2 1
0 -2 -1 -2
-2 -1 -2 0
1 2 2 2 (hàng thứ bảy)
.............................................................................
.............................................................................
1 0 0 0 (hàng thứ mười ba)
Số $a_{i,1}$ là ứng với $x^{2026-12m-i}$. Đa thức dư cần tìm ứng với $x^3$ nên $i=7$
$\Rightarrow$ đa thức dư cần tìm là $x^3+2x^2+2x+2$.
Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi chanhquocnghiem: 21-11-2022 - 06:37
...
Ðêm nay tiễn đưa
Giây phút cuối vẫn còn tay ấm tay
Mai sẽ thấm cơn lạnh khi gió lay
Và những lúc mưa gọi thương nhớ đầy ...
Tính số bộ nghiệm nguyên dương của
$$x_1+x_2+x_3+ x_4=23 $$
với $x_3\neq 2x_4$ và $x_2\neq x_3 $
Đặt $y_i=x_i-1$ ($y_i$ nguyên không âm)
Số bộ nghiệm nguyên dương cần tìm cũng chính là số bộ nghiệm nguyên không âm của phương trình $y_1+y_2+y_3+y_4=19$ thỏa mãn $y_2\neq y_3$ $(1)$ và $y_3\neq 2y_4+1$ $(2)$
Phương trình $y_1+y_2+y_3+y_4=19$ có $C_{22}^3$ bộ nghiệm nguyên không âm.
a) Xét trường hợp $y_2=y_3\Rightarrow y_1+2y_2+y_4=19$
+ Nếu $y_2=k$ ($0\leqslant k\leqslant 9$) $\Rightarrow y_1+y_4=19-2k$ có $20-2k$ nghiệm.
Vậy trường hợp này có $\sum_{k=0}^{9}(20-2k)=20.10-2\sum_{k=0}^{9}k=200-2.45=110$ bộ nghiệm.
b) Xét trường hợp $y_3=2y_4+1\Rightarrow y_1+y_2+3y_4=18$
+ Nếu $y_4=k$ ($0\leqslant k\leqslant 6$) $\Rightarrow y_1+y_2=18-3k$ có $19-3k$ nghiệm.
Vậy trường hợp này có $\sum_{k=0}^{6}(19-3k)=19.7-3\sum_{k=0}^{6}k=133-3.21=70$ bộ nghiệm.
c) Xét trường hợp $y_2=y_3=2y_4+1\Rightarrow y_1+5y_4=17$. Phương trình này có $4$ bộ nghiệm.
Vậy số bộ nghiệm của phương trình $y_1+y_2+y_3+y_4=19$ thỏa mãn cả $(1)$ và $(2)$, cũng là đáp án bài toán là
$C_{22}^3-110-70+4=1364$.
...
Ðêm nay tiễn đưa
Giây phút cuối vẫn còn tay ấm tay
Mai sẽ thấm cơn lạnh khi gió lay
Và những lúc mưa gọi thương nhớ đầy ...
0 thành viên, 1 khách, 0 thành viên ẩn danh