Chủ đề này có 7 trả lời

[Nobodyv3]

1/ Từ "$TOANHOCTUOITRE$" lập được bao nhiêu từ có 6 chữ cái mà trong đó không có từ con "$TIA$".
2/ Có bao nhiêu cách bỏ 18 bi đỏ và 11 bi xanh vào 4 hộp khác nhau sao cho trong mỗi hộp số bi đỏ lớn hơn số bi xanh, biết rằng các bi chỉ khác nhau về màu sắc.
3/ Tính
$$S=\frac {7}{13}+\frac {77}{13^2}+\frac {777}{13^3}+...$$
4/ Có bao nhiêu số $0$ khi viết các số từ 1 đến 243 theo cơ số 3.
Added. Edited.

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi Nobodyv3: 24-11-2022 - 10:44

[chanhquocnghiem]

1/ Từ "$TOANHOCTUOITRE$" lập được bao nhiêu từ có 6 chữ cái mà trong đó không có từ con "$TIA$".

Gọi $M$ là số từ có $6$ chữ cái lập được từ "$TOANHOCTUOITRE$" và $N$ là số từ có từ con "$TIA$" trong số đó

a) Tính $M$ :

 + $6$ chữ cái khác nhau từng đôi một : Có $P_{10}^6=151200$ từ.

 + Có đúng $1$ chữ cái xuất hiện $2$ lần (các chữ còn lại đôi một khác nhau) : Có $2C_6^2P_9^4=90720$ từ.

 + Có đúng $1$ chữ cái xuất hiện $3$ lần (các chữ còn lại đôi một khác nhau) : Có $2C_6^3P_9^3=20160$ từ.

 + Các chữ cái $T$ và $O$ đều xuất hiện $2$ lần : Có $C_6^2C_4^2P_8^2=5040$ từ.

 + Một chữ cái xuất hiện $3$ lần và một chữ cái xuất hiện $2$ lần : Có $2.C_6^3C_3^2.8=960$ từ.

 + $T$ và $O$ đều xuất hiện $3$ lần : Có $C_6^3=20$ từ.

    $\Rightarrow M=268100$ từ.

b) Tính $N$ :

 + Chọn $3$ vị trí liên tiếp để điền "$TIA$" : $4$ cách.

 + Điền thêm $3$ chữ cái vào $3$ vị trí còn lại :

    - Nếu $3$ chữ cái đó đôi một khác nhau : $P_8^3=336$ cách.

    - Nếu trong đó có đúng $2$ chữ cái giống nhau : $2.C_3^2.7=42$ cách.

    - Nếu $3$ chữ cái điền thêm giống nhau : $1$ cách.

    $\Rightarrow N=4(336+42+1)=1516$ từ.

 

Đáp án là $M-N=266584$ từ.
 

[Nobodyv3]

1/ Ta có hàm sinh :
$f(x)=(1+x)^8\left(  1+x+\frac {x^2}{2!}+\frac {x^3}{3!} \right) ^2\\
\Longrightarrow \left [\frac {x^6}{6!}\right ]f(x)=268100$
Hàm sinh cho các từ có 6 chữ cái có chứa từ con "$TIA$":
$g(x)=x(1+x)^6(1+x+\frac {x^2}{2!})(1+x+\frac {x^2}{2!}+\frac {x^3}{3!} )\\
\Longrightarrow \left [\frac {x^4}{4!}\right ]g(x)=1516$
Số các từ thỏa yêu cầu là :
$268100-1516=\boldsymbol {266584}$

[chanhquocnghiem]

2/ Có bao nhiêu cách bỏ 18 bi đỏ và 11 bi xanh vào 4 hộp khác nhau sao cho trong mỗi hộp số bi đỏ lớn hơn số bi xanh, biết rằng các bi chỉ khác nhau về màu sắc và hộp có thể không có viên bi nào.
3/ Tính
$$S=\frac {7}{13}+\frac {77}{13^2}+\frac {777}{13^3}+...$$

2) "Trong mỗi hộp, số bi đỏ phải lớn hơn số bi xanh" mà "có thể có hộp không có viên bi nào" (tức là số bi đỏ và số bi xanh đều bằng $0$). Hai cái này nó mâu thuẫn nhau chứ nhỉ ?

 

3) Ta có thể viết :

   $S=\left ( \frac{7}{13}+\frac{70}{13^2}+\frac{700}{13^3}+... \right )+\left ( \frac{7}{13^2}+\frac{70}{13^3}+\frac{700}{13^4}+... \right )+\left ( \frac{7}{13^3}+\frac{70}{13^4}+\frac{700}{13^5}+... \right )+...$

    $=\frac{\frac{7}{13}}{1-\frac{10}{13}}+\frac{\frac{7}{13^2}}{1-\frac{10}{13}}+\frac{\frac{7}{13^3}}{1-\frac{10}{13}}+...=\frac{7}{3}+\frac{7}{3.13}+\frac{7}{3.13^2}+...=\frac{\frac{7}{3}}{1-\frac{1}{13}}=\frac{91}{36}$.
 

[chanhquocnghiem]

4/ Có bao nhiêu số $0$ khi viết các số từ 1 đến 243 theo cơ số 3.

Giả sử số tự nhiên $n$ (từ $1$ đến $243$) viết theo cơ số $3$ có dạng $\overline{abcdef}$ (dĩ nhiên ta không đếm những chữ số $0$ ngoài cùng bên trái). Nhận xét rằng :

- Cứ $3$ số tự nhiên liên tiếp thì chữ số $0$ xuất hiện ở vị trí $\overline{f}$ $1$ lần $\Rightarrow$ có $81$ chữ số $0$ xuất hiện ở vị trí $\overline{f}$

- Từ $n=10$, cứ $3^2$ số tự nhiên liên tiếp thì chữ số $0$ xuất hiện ở vị trí $\overline{e}$ $3$ lần $\Rightarrow$ có $\frac{3.(243-9)}{3^2}+1=79$ chữ số $0$ xuất hiện ở vị trí $\overline{e}$

- Từ $n=28$, cứ $3^3$ số tự nhiên liên tiếp thì chữ số $0$ xuất hiện ở vị trí $\overline{d}$ $3^2$ lần $\Rightarrow$ có $\frac{3^2.(243-27)}{3^3}+1=73$ chữ số $0$ xuất hiện ở vị trí $\overline{d}$

- ........................................................................

Vậy đáp án là $\left ( \frac{3^5-3}{3}+1 \right )+\left ( \frac{3^5-3^2}{3}+1 \right )+\left ( \frac{3^5-3^3}{3}+1 \right )+...+\left ( \frac{3^5-3^5}{3}+1 \right )$

    $=5.3^4-(1+3+3^2+...+3^4)+5=5.3^4-\frac{3^5-1}{3-1}+5=289$
 

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi chanhquocnghiem: 24-11-2022 - 10:33

[Nobodyv3]

2) "Trong mỗi hộp, số bi đỏ phải lớn hơn số bi xanh" mà "có thể có hộp không có viên bi nào" (tức là số bi đỏ và số bi xanh đều bằng $0$). Hai cái này nó mâu thuẫn nhau chứ nhỉ ?

3) Ta có thể viết :
$S=\left ( \frac{7}{13}+\frac{70}{13^2}+\frac{700}{13^3}+... \right )+\left ( \frac{7}{13^2}+\frac{70}{13^3}+\frac{700}{13^4}+... \right )+\left ( \frac{7}{13^3}+\frac{70}{13^4}+\frac{700}{13^5}+... \right )+...$
$=\frac{\frac{7}{13}}{1-\frac{10}{13}}+\frac{\frac{7}{13^2}}{1-\frac{10}{13}}+\frac{\frac{7}{13^3}}{1-\frac{10}{13}}+...=\frac{7}{3}+\frac{7}{3.13}+\frac{7}{3.13^2}+...=\frac{\frac{7}{3}}{1-\frac{1}{13}}=\frac{91}{36}$.

2/ Anh có lý. Đã sửa.
3/Cách khác, Ta thấy :
$\underbrace{ 77\cdots7 }_{n \text{ lần}}=7\cdot11\cdots1=7\cdot\frac{10^n-1}{9}$
nên :
$S=\frac{7}{9}  \underbrace{\left ( \frac{10}{13}+\frac{10^2}{13^2}+...\right ) }_{\text{A}} -\frac{7}{9}\underbrace{ \left ( \frac{1}{13}+\frac{1}{13^2}+... \right ) }_{\text{B}}$
mà :
$A=\frac{10/13}{1-10/13}=\frac{10}{3}$ và $B=\frac{1/13}{1-1/13}=\frac{1}{12}$
Do đó :
$S=\frac{7}{9}\left ( \frac{10}{3}-\frac{1}{12} \right )=\frac{273}{108}=\boldsymbol {\frac{91}{36}}$

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi Nobodyv3: 24-11-2022 - 12:45

[Nobodyv3]

4/ Ta thấy $243=100000_3$ và xét tất cả các số tam phân 5 chữ số từ $00000_3$ đến $22222_3$ thì nếu số $0$ xuất hiện hàng thứ i (đó là các hàng $3^0, 3^1, 3^2, 3^3, 3^4$) thì có $3^4=81$ khả năng cho các chữ số khác, do đó sơ bộ ta có $5\cdot81=405$ số $0$. Ta phải trừ đi: 5 (của số $00000$) và các số $0$ đứng đầu : $4\cdot2, 3\cdot6, 2\cdot18, 1\cdot54$ và cộng 5 số $0$ của số $100000_3$ cụ thể là :
$405-5-4\cdot2-3\cdot6-2\cdot18-1\cdot54+5=\boldsymbol {289}$

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi Nobodyv3: 24-11-2022 - 14:39

[chanhquocnghiem]

2/ Có bao nhiêu cách bỏ 18 bi đỏ và 11 bi xanh vào 4 hộp khác nhau sao cho trong mỗi hộp số bi đỏ lớn hơn số bi xanh, biết rằng các bi chỉ khác nhau về màu sắc.

Đánh số các hộp và gọi $a_i$, $b_i$ lần lượt là số bi đỏ và bi xanh trong hộp thứ $i$.

Đặt $d_i=a_i-b_i\Rightarrow b_1+b_2+b_3+b_4=11$ $(1)$ và $d_1+d_2+d_3+d_4=7$ $(2)$

(với $b_i\geqslant 0$ và $d_i\geqslant 1$)

Phương trình $(1)$ có $C_{14}^3=364$ bộ nghiệm nguyên không âm.

Phương trình $(2)$ có $C_6^3=20$ bộ nghiệm nguyên dương.

$\Rightarrow$ Số cách bỏ bi vào các hộp thỏa mãn yêu cầu đề bài là $364.20=7280$ cách.