Đến nội dung

Hình ảnh

Xác định số nghiệm âm và số nghiệm dương theo $n$ của $P_{n}(x)$.

- - - - -

  • Please log in to reply
Chủ đề này có 1 trả lời

#1
Math04

Math04

    Trung sĩ

  • Thành viên
  • 120 Bài viết

Cho dãy đa thức: $\left\{\begin{matrix} P_{0}(x)=0,P_{1}(x)=x & & \\ P_{n}(x)=(P_{n-1}(x))^3+2P_{n-1}(x)-P_{n-2}(x)+2022 & & \end{matrix}\right.$ Xác định số nghiệm âm và số nghiệm dương theo $n$ của $P_{n}(x)$.



#2
nhungvienkimcuong

nhungvienkimcuong

    Thiếu úy

  • Hiệp sỹ
  • 669 Bài viết

Cho dãy đa thức: $\left\{\begin{matrix} P_{0}(x)=0,P_{1}(x)=x & & \\ P_{n}(x)=(P_{n-1}(x))^3+2P_{n-1}(x)-P_{n-2}(x)+2022 & & \end{matrix}\right.$ Xác định số nghiệm âm và số nghiệm dương theo $n$ của $P_{n}(x)$.

Với đẳng thức

\[P_n'(x)-P_{n-1}'(x)=3P_n^2(x)P_n'(x)+(P_{n-1}'(x)-P_{n-2}'(x)),\]

chứng minh được $P_n'(x)>P_{n-1}'(x)>0$ với mọi $n>1$, như vậy hàm $P_n$ đồng biến. Vì $\deg(P_n)=3^{n-1}$ lẻ nên hàm này phải có nghiệm thực và nghiệm này là duy nhất. Ngoài ra với đẳng thức

\[P_n(x)-P_{n-1}(x)=P_n^3(x)+(P_{n-1}(x)-P_{n-2}(x))+2022,\]

chứng minh được $P_n(x)>P_{n-1}(x)$, dẫn đến $P_n(0)>P_{n-1}(0)>0$ với mọi $n>1$.

Vậy với mỗi $n>1$ thì đa thức $P_n$ chỉ có duy nhất một nghiệm và nghiệm đó âm.


Đừng khóc vì chuyện đã kết thúc hãy cười vì chuyện đã xảy ra ~O) 
Thật kì lạ anh không thể nhớ đến tên mình mà chỉ nhớ đến tên em :wub:
Chúa tạo ra vũ trụ của con người còn em tạo ra vũ trụ của anh :ukliam2:





2 người đang xem chủ đề

0 thành viên, 2 khách, 0 thành viên ẩn danh