Đến nội dung


Chú ý

Nếu các bạn đăng kí thành viên mà không nhận được email kích hoạt thì hãy kiểm tra thùng thư rác (spam). Nếu không biết cách truy cập vào thùng thư rác thì các bạn chịu khó Google hoặc đăng câu hỏi vào mục Hướng dẫn - Trợ giúp để thành viên khác có thể hỗ trợ.


Hình ảnh

Cho $x,y,z$ là các số thực dương thỏa mãn x+y+z=3


  • Please log in to reply
Chủ đề này có 3 trả lời

#1 quocthai0974767675

quocthai0974767675

    Trung sĩ

  • Thành viên
  • 144 Bài viết
  • Giới tính:Nam
  • Đến từ:THCS Vĩnh Yên ,Vĩnh Phúc
  • Sở thích:học và làm theo lời Bác Hồ dạy

Đã gửi 02-06-2020 - 18:08

Cho $x,y,z$ là các số thực dương thỏa mãn x+y+z=3.CMR:$\sum \frac{1}{x^{2}+xy+y^2}\geq 1$


 You only live once, but if you do it right, once is enough.


#2 Peteroldar

Peteroldar

    Thượng sĩ

  • Thành viên
  • 240 Bài viết
  • Giới tính:Nam
  • Đến từ:PUBG
  • Sở thích:PUBG, maths, and so on....

Đã gửi 02-06-2020 - 22:03

Link



#3 Syndycate

Syndycate

    Sĩ quan

  • Thành viên
  • 335 Bài viết
  • Giới tính:Nam
  • Đến từ:$\boxed{\mathbf{34}}$
  • Sở thích:★★⚽★★

Đã gửi 02-06-2020 - 22:08

Vào lúc 02 Tháng 6 2020 - 18:08, quocthai0974767675 đã nói:snapback.png

 

Cho x,y,zlà các số thực dương thỏa mãn x+y+z=3.CMR: $\sum \frac{1}{x^2+xy+y^2}\geq 1$

Cần chứng minh : $\sum \frac{1}{x^2+xy+y^2}\geq 1\rightarrow \sum \frac{(x+y+z)^2}{x^2+xy+y^2}\geq 9(*)$

Đến đây thì ghép đối xứng kết hợp với Cauchy-Schwarz là ra : 

$\frac{(x+y+z)^2}{x^2+xy+y^2}+\frac{9z^2}{z(x+y+z)}\geq \frac{(x+y+4z)^2}{\sum x^2+\sum xy}$

Thiết lập các bất đẳng thức tương tự: 

$\frac{(\sum x)^2}{y^2+yz+z^2}+\frac{9x^2}{x(x+y+z)}\geq \frac{(4x+y+z)^2}{\sum x^2+\sum xy}$

và: $\frac{(\sum x)^2}{z^2+zx+x^2}+\frac{9y^2}{y(\sum x)}\geq \frac{(x+4y+z)^2}{\sum x^2+\sum xy}$

Thì cộng vế với vế ta dược : 

$L.H.S(*)+\sum \frac{9x}{x+y+z}\geq \sum \frac{(4x+y+z)^2}{\sum x^2+\sum xy}$

Lại có: 

$\sum (4x+y+z)^2=18(\sum x^2+\sum xy)$

Nên từ đó, suy ra:

$L.H.S(*)+9\geq \frac{18(\sum x^2+\sum xy)}{\sum x^2+\sum xy}=18\rightarrow L.H.S(*)\geq 9 (dfcm)$

Vậy ta chứng minh xong. Dấu bằng xảy ra khi $x=y=z=1$

P/s: Đây là cách do mình "ăn may" mới làm ra nhưng tuy nhiên cũng không thể phủ định được sự đơn giản của cách này :D


Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi Syndycate: 03-06-2020 - 00:37

"Nếu bạn lên kế hoạch xây dựng một ngôi nhà phẩm hạnh thật cao, trước tiên bạn phải đặt nền móng sâu bằng sự khiêm nhường." 

(Augustine)


#4 Daniel18

Daniel18

    Trung sĩ

  • Thành viên
  • 143 Bài viết

Đã gửi 02-06-2020 - 22:29

Cho $x,y,z$ là các số thực dương thỏa mãn x+y+z=3.CMR:$\sum \frac{1}{x^{2}+xy+y^2}\geq 1$

$LHS-RHS=\frac{(x-y)^2(x^2+y^2+5xy+2zx+2zy-2z^2}{2(x^2+xz+z^2)(y^2+yz+z^2)}+\frac{(z-y)^2(z^2+y^2+5yz+2zx}{2(x^2+xz+z^2)(y^2+xy+x^2)}+\frac{(x-z)^2(x^2+z^2+5xz+2zy}{2(x^2+xy+y^2)(y^2+yz+z^2)}+\frac{(x-y)^2[(xy(x^2+xy+y^2)+xyz^2-2x^2yz-2xy^2z+xyz(x+y-2z)+z^2(xy-z^2)]}{(x^2+xz+z^2)(y^2+yz+z^2)(x^2+y^2+xy)} \geqq 0$
Với $z=min${$x,y,z$}

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi Daniel18: 02-06-2020 - 22:30





1 người đang xem chủ đề

0 thành viên, 1 khách, 0 thành viên ẩn danh