Đến nội dung

Hình ảnh

Tìm các cặp số nguyên dương $a,b$ thỏa mãn điều kiện $a^2+ab+1$ là ước của $b^2+ab+a+b-1$.


  • Please log in to reply
Chủ đề này có 1 trả lời

#1
Matthew James

Matthew James

    Trung sĩ

  • Thành viên
  • 106 Bài viết

Tìm các cặp số nguyên dương $a,b$ thỏa mãn điều kiện $a^2+ab+1 | b^2+ab+a+b-1$.

Gợi ý: $b^2+ab+a+b-1+a^2+ab+1 \vdots a^2+ab+1$ 


Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi perfectstrong: 20-12-2022 - 20:27
LaTeX

Mathematics reveals its secrets only to those who approach it with pure love, for its own beauty. :D 


#2
Nguyen Bao Khanh

Nguyen Bao Khanh

    Hạ sĩ

  • Hái lộc VMF 2024
  • 74 Bài viết

Theo bài ra, ta được: $b^{2}+ab+a+b-1+a^{2}+ab+1\vdots a^{2}+ab+1 \Leftrightarrow (a^{2}+2ab+b^{2})+a+b\vdots a^{2}+ab+1\Leftrightarrow (a+b)(a+b+1)\vdots a^{2}+ab+1$ . Gọi $d=GCD(a+b,a^{2}+ab+1)\epsilon \mathbb{N}^{*} \Leftrightarrow \left\{\begin{matrix}a+b\vdots d \\ a^{2}+ab+1\vdots d \end{matrix}\right. \rightarrow \left\{\begin{matrix}a^{2}+ab\vdots d \\ a^{2}+ab+1 \end{matrix}\right.(a\epsilon N^{*})\Leftrightarrow 1\vdots d\rightarrow d=1$. Khi đó ta suy ra được $a+b+1\vdots a^{2}+ab+1$. Do $a,b$ nguyên dương nên $a+b+1\epsilon N^{*};a^{2}+ab+1\epsilon N^{*}$. Khi đó $a+b+1\geq a^{2}+ab+1\Leftrightarrow 0\geq (a-1)(a+b)$ mà $a,b\epsilon N^{*}\rightarrow (a-1)(a+b)\geq 0 \rightarrow (a-1)(a+b)=0\rightarrow a=1$ Thay vào tìm được b






2 người đang xem chủ đề

0 thành viên, 2 khách, 0 thành viên ẩn danh