Đến nội dung

Hình ảnh

$\sum^n_{k=1}{k(C^k_n)^2}=nC^{n-1}_{2n-1}$

đếm bằng 2 cách

  • Please log in to reply
Chủ đề này có 1 trả lời

#1
Saturina

Saturina

    Hạ sĩ

  • Thành viên
  • 64 Bài viết

Chứng minh rằng với mọi $n \ge 1, n \in \mathbb{N}$, ta có: $$\sum^n_{k=1}{k(C^k_n)^2}=nC^{n-1}_{2n-1}$$


$Em$ $đẹp$ $như$ $chiếc$ $cúp$ $Euro$ $2020$ $vậy$
$Vì$ $em$ $là$ $của$ $người$ $Ý$ $chứ$ $không$ $phải$ $Anh$ :(
:( :( 

 

$Thì$ $chả$ $thế$ $à$ $?$

 


#2
hovutenha

hovutenha

    Hạ sĩ

  • Thành viên
  • 85 Bài viết

Phương pháp đếm bằng 2 cách: 
Ta sẽ đơn giản hóa bài toán bằng cách coi đề bài là: số cách chọn 1 đội bóng gồm n người (trong đó có 1 đội trưởng) từ 2n người 
Đếm cách 1: ta đếm đội trưởng trước
Có $2n$ cách chọn đội trưởng 
Sau đó ta sẽ đếm đội bóng, lúc này khi đã chọn đội trưởng rồi, thì ta chỉ còn phải chọn $n-1$ người từ $2n-1$ người còn lại tương đương với $C_{2n-1}^{n-1}$ cách chọn
Như vậy theo cách 1 ta có số cách chọn thỏa mãn là: $2n.C_{2n-1}^{n-1}$
Đếm cách 2: ta đếm đội bóng trước 
Chia 2n người cho trước thành 2 nhóm A và B, mỗi nhóm gồm n người, KMTTQ giả sử đội trưởng ở nhóm A
Ta sẽ chọn đội bóng bằng cách chọn $k$ người ở nhóm A, $n-k$ người ở nhóm B và chọn đội trưởng.
Thật vậy ta có: $C_{n}^{k}$ cách chọn người ở nhóm A, $C_{n}^{n-k}$ cách chọn người ở nhóm B và có $k$ cách chọn đội trưởng
Để ý vì đội trưởng có thể ở nhóm B và $C_{n}^{k}=C_{n}^{n-k}$ nên theo cách 2 ta có số cách chọn thỏa mãn là: $2\sum_{k=1}^{n}k.\left ( C_{n}^{k} \right )^{2}$
Suy ra: $2n.C_{2n-1}^{n-1}=2\sum_{k=1}^{n}k.\left ( C_{n}^{k} \right )^{2} \leftrightarrow n.C_{2n-1}^{n-1}=\sum_{k=1}^{n}k.\left ( C_{n}^{k} \right )^{2}$
đpcm







Được gắn nhãn với một hoặc nhiều trong số những từ khóa sau: đếm bằng 2 cách

2 người đang xem chủ đề

0 thành viên, 2 khách, 0 thành viên ẩn danh