Xét hai số nguyên dương a, b thỏa mãn $a^2-4b+1$ chia hết cho $(a+2b)(2b-1)$. Chứng minh rằng $a+2b$ là số chính phương.
Chứng minh rằng $a+2b$ là số chính phương.
#1
Đã gửi 24-11-2022 - 23:53
#2
Đã gửi 25-11-2022 - 22:15
Xét hai số nguyên dương a, b thỏa mãn $a^2-4b+1$ chia hết cho $(a+2b)(2b-1)$. Chứng minh rằng $a+2b$ là số chính phương.
Bài này trong đề học sinh giỏi quận Nam Từ Liêm năm hay nhưng mà tui chưa làm được
- Khai Hung yêu thích
Mathematics reveals its secrets only to those who approach it with pure love, for its own beauty.
#3
Đã gửi 29-11-2022 - 14:16
Xét hai số nguyên dương a, b thỏa mãn $a^2-4b+1$ chia hết cho $(a+2b)(2b-1)$. Chứng minh rằng $a+2b$ là số chính phương.
Tính chất. Hai số nguyên dương $x,y$ thỏa mãn $xy=z^2$ và $\text{UCLN}(x,y)=1$ thì cả hai số $x,y$ đều là số chính phương.
Quay lại bài toán. Theo giả thiết thì tồn tại số nguyên $k$ sao cho $a^2-4b+1=k(a+2b)(2b-1)$, tương đương
\[a^2-4b^2+(2b-1)^2=k(a+2b)(2b-1)\iff (a+2b)\big(k(2b-1)+2b-a\big)=(2b-1)^2.\]
Đặt $d=\text{ULCN}(a+2b,k(2b-1)+2b-a)$ thì $d^2\mid (2b-1)^2$ nên ta có
\[\left\{\begin{array}{l}d\mid a+2b\\ d\mid k(2b-1)+2b-a\\ d\mid 2b-1\end{array}\right.\implies \left\{\begin{matrix}d\mid a+2b\\ d\mid 2b-a\end{matrix}\right.\implies d\mid 4b.\]
Vì $d\mid 2b-1$ nên $d$ lẻ, do đó $d\mid b$, dẫn tới $d=1$. Từ đây kết hợp với tính chất ở trên suy ra $a+2b$ là số chính phương.
Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi nhungvienkimcuong: 29-11-2022 - 14:21
- perfectstrong, Matthew James và Leonguyen thích
Đừng khóc vì chuyện đã kết thúc hãy cười vì chuyện đã xảy ra
Thật kì lạ anh không thể nhớ đến tên mình mà chỉ nhớ đến tên em
Chúa tạo ra vũ trụ của con người còn em tạo ra vũ trụ của anh
6 người đang xem chủ đề
0 thành viên, 6 khách, 0 thành viên ẩn danh