Chủ đề này có 2 trả lời

[Tea Coffee]

Cho x,y,z $\epsilon$ [0,1] , x+y+z=2. Tìm GTLN của P = $\frac{1}{xy+1}$+$\frac{1}{yz+1}$+$\frac{1}{xz+1}$

[Matthew James]

Vì $x,y,z$ thuộc đoạn [0;1] nên ta có $\left\{\begin{matrix} x\leq 1 & & \\ y+z\leq yz+1& & \\ 0\leq yz & & \end{matrix}\right.$

=> 0<x+y+z<(=) 2yz+2

$\Rightarrow\frac{1}{yz+1}\leq \frac{2}{x+y+z}=2$

Tương tự rồi cộng các bất đẳng thức lại ta thu được $P\leq 3$

Dấu "=" xảy ra khi $(a,b,c)=(1,1,0)$ và các hoán vị

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi Matthew James: 25-11-2022 - 22:05

[Tea Coffee]

Vì $x,y,z$ thuộc đoạn [0;1] nên ta có $\left\{\begin{matrix} x\leq 1 & & \\ y+z\leq yz+1& & \\ 0\leq yz & & \end{matrix}\right.$

=> 0<x+y+z<(=) 2yz+2

$\Rightarrow\frac{1}{yz+1}\leq \frac{2}{x+y+z}=2$

Tương tự rồi cộng các bất đẳng thức lại ta thu được $P\leq 3$

Dấu "=" xảy ra khi $(a,b,c)=(1,1,0)$ và các hoán vị

Mình thấy không đúng lắm nếu thay các giá trị khi xảy ra dấu bằng thì dấu bằng sẽ có giá trị là $\frac{5}{2}$ chứ không phải là 3 . 

                                                                 Bài Làm

Vì  0$\leq$ x, y$\leq$ 1, $\leftrightarrow$  (1-x)(1-y)$\geq$0 <=> 1+xy $\geq$ x+y <=> $\frac{1}{xy+1}$ $\leq$ $\frac{1}{x+y}$

Mặt khác x+y+z=2 => x+y=2-z => $\frac{1}{xy+1}$ $\leq$ $\frac{1}{2-z}$  

Ta sẽ chứng minh :  $\frac{1}{2-z}$ $\leq$ $\frac{z+1}{2}$ 

                                <=> 2$\leq$ (2-z)(z+1) <=> 0$\leq$ z-z² <=> z-z² $\geq$ 0 <=> z(z-1) $\geq$ 0 -> Đúng ( vì  0$\leq$z $\leq$ 1)

=>$\frac{1}{2-z}$ $\leq$ $\frac{z+1}{2}$ => $\frac{1}{xy+1}$ $\leq$ $\frac{z+1}{2}$ 

CMT =>  $\frac{1}{xz+1}$ $\leq$ $\frac{y+1}{2}$

               $\frac{1}{yz+1}$ $\leq$ $\frac{x+1}{2}$

=> $\frac{1}{xy+1}$ + $\frac{1}{xz+1}$ + $\frac{1}{yz+1}$ $\leq$ $\frac{z+1}{2}$ + $\frac{y+1}{2}$ + $\frac{x+1}{2}$                                                                                                                                      = $\frac{x+y+z+3}{2}$ = $\frac{5}{2}$

(vì x+y+z=2)

                                            Dấu "=" xảy ra khi $(a,b,c)=(1,1,0)$ và các hoán vị

Vậy maxp= $\frac{5}{2}$  khi $(a,b,c)=(1,1,0)$ và các hoán vị