Cho x,y,z $\epsilon$ [0,1] , x+y+z=2. Tìm GTLN của P = $\frac{1}{xy+1}$+$\frac{1}{yz+1}$+$\frac{1}{xz+1}$
Cho $x,y,z \in [0,1]$ và $x+y+z=2.$ Tìm GTLN của $P = \frac{1}{xy+1}+\frac{1}{yz+1}+\frac{1}{xz+1}$
#1
Đã gửi 25-11-2022 - 20:31
- Matthew James yêu thích
Treasure every moment that you have!
And remember that Time waits for no one.
Yesterday is history. Tomorrow is a mystery.
Today is a gift. That’s why it’s called the present.
#2
Đã gửi 25-11-2022 - 22:01
Vì $x,y,z$ thuộc đoạn [0;1] nên ta có $\left\{\begin{matrix} x\leq 1 & & \\ y+z\leq yz+1& & \\ 0\leq yz & & \end{matrix}\right.$
=> 0<x+y+z<(=) 2yz+2
$\Rightarrow\frac{1}{yz+1}\leq \frac{2}{x+y+z}=2$
Tương tự rồi cộng các bất đẳng thức lại ta thu được $P\leq 3$
Dấu "=" xảy ra khi $(a,b,c)=(1,1,0)$ và các hoán vị
Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi Matthew James: 25-11-2022 - 22:05
- thanhng2k7 và ThienDuc1101 thích
Mathematics reveals its secrets only to those who approach it with pure love, for its own beauty.
#3
Đã gửi 27-11-2022 - 21:43
Vì $x,y,z$ thuộc đoạn [0;1] nên ta có $\left\{\begin{matrix} x\leq 1 & & \\ y+z\leq yz+1& & \\ 0\leq yz & & \end{matrix}\right.$
=> 0<x+y+z<(=) 2yz+2
$\Rightarrow\frac{1}{yz+1}\leq \frac{2}{x+y+z}=2$
Tương tự rồi cộng các bất đẳng thức lại ta thu được $P\leq 3$
Dấu "=" xảy ra khi $(a,b,c)=(1,1,0)$ và các hoán vị
Mình thấy không đúng lắm nếu thay các giá trị khi xảy ra dấu bằng thì dấu bằng sẽ có giá trị là $\frac{5}{2}$ chứ không phải là 3 .
Bài Làm
Vì 0$\leq$ x, y$\leq$ 1, $\leftrightarrow$ (1-x)(1-y)$\geq$0 <=> 1+xy $\geq$ x+y <=> $\frac{1}{xy+1}$ $\leq$ $\frac{1}{x+y}$
Mặt khác x+y+z=2 => x+y=2-z => $\frac{1}{xy+1}$ $\leq$ $\frac{1}{2-z}$
Ta sẽ chứng minh : $\frac{1}{2-z}$ $\leq$ $\frac{z+1}{2}$
<=> 2$\leq$ (2-z)(z+1) <=> 0$\leq$ z-z2 <=> z-z2 $\geq$ 0 <=> z(z-1) $\geq$ 0 -> Đúng ( vì 0$\leq$z $\leq$ 1)
=>$\frac{1}{2-z}$ $\leq$ $\frac{z+1}{2}$ => $\frac{1}{xy+1}$ $\leq$ $\frac{z+1}{2}$
CMT => $\frac{1}{xz+1}$ $\leq$ $\frac{y+1}{2}$
$\frac{1}{yz+1}$ $\leq$ $\frac{x+1}{2}$
=> $\frac{1}{xy+1}$ + $\frac{1}{xz+1}$ + $\frac{1}{yz+1}$ $\leq$ $\frac{z+1}{2}$ + $\frac{y+1}{2}$ + $\frac{x+1}{2}$ = $\frac{x+y+z+3}{2}$ = $\frac{5}{2}$
(vì x+y+z=2)
Dấu "=" xảy ra khi $(a,b,c)=(1,1,0)$ và các hoán vị
Vậy maxp= $\frac{5}{2}$ khi $(a,b,c)=(1,1,0)$ và các hoán vị
- Matthew James yêu thích
Treasure every moment that you have!
And remember that Time waits for no one.
Yesterday is history. Tomorrow is a mystery.
Today is a gift. That’s why it’s called the present.
2 người đang xem chủ đề
0 thành viên, 2 khách, 0 thành viên ẩn danh