Đến nội dung


Chú ý

Nếu các bạn đăng kí thành viên mà không nhận được email kích hoạt thì hãy kiểm tra thùng thư rác (spam). Nếu không biết cách truy cập vào thùng thư rác thì các bạn chịu khó Google hoặc đăng câu hỏi vào mục Hướng dẫn - Trợ giúp để thành viên khác có thể hỗ trợ.


Hình ảnh

Số học


  • Please log in to reply
Chủ đề này có 1 trả lời

#1 tvdat2k4

tvdat2k4

    Binh nhì

  • Thành viên mới
  • 18 Bài viết
  • Giới tính:Nam
  • Đến từ:Trường THPT chuyên Lương Văn Chánh, Phú Yên
  • Sở thích:xem đá bóng, đọc sách, học toán and so on

Đã gửi 05-06-2020 - 22:46

Cho p là một số nguyên tố có dạng 4k+3. CMR không tồn tại tập X gồm p-1 số nguyên dương liên tiếp sao cho X có thể phân hoạch được hai tập con, trong đó tích của tất cả phần tử trong mỗi tập bằng nhau.



#2 Arthur Pendragon

Arthur Pendragon

    Trung sĩ

  • Thành viên
  • 189 Bài viết
  • Giới tính:Nam
  • Đến từ:Hải Phòng, Việt Nam
  • Sở thích:Autumn River (?)

Đã gửi 21-07-2020 - 22:16

Gọi $p-1$ số tự nhiên thuộc X là $x+1,x+2,...,x+p-1$. Gọi $P(X)$ là tích tất cả các phần tử của tập $X$. Giả sử ta có thể phân hoạch $X$ thành hai tập $Y$ và $Z$ sao cho $P(Y)=P(Z)$. Xét 2 trường hợp:

TH1: $x$ không chia hết cho $p$. Khi đó do $X$ gồm $p-1$ số tự nhiên liên tiếp nên tồn tại duy nhất một số tự nhiên $q$ là bội của $p$. Khi đó chỉ có 1 trong 2 số $P(X)$ hoặc $P(Y)$ chia hết cho p, nên ta không thể có $P(Y)=P(Z)$.

TH2: $x \vdots p$. Giả sử $P(Y)=P(Z)=a$. Theo định lý Wilson ta có:

$a^2 = P(X)=(x+1)(x+2)...(x+p-1) \equiv (p-1)! \equiv -1 \pmod p$

Mà $p$ có dạng $4k+3$ nên điều này không thể xảy ra.

Vậy điều giả sử là sai và ta có đpcm.


Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi Arthur Pendragon: 21-07-2020 - 22:18

"After all this time?"

"Always.."      





3 người đang xem chủ đề

0 thành viên, 3 khách, 0 thành viên ẩn danh