Chủ đề này có 1 trả lời

[xiaohuang]

Cho hàm số Dirichlet $D(x)=\left\{\begin{matrix} 1, x\in \mathbb{Q}\\0, x\in \mathbb{I} \end{matrix}\right.$ . Áp dụng tính chất trù mật của $\mathbb{I},\mathbb{Q}$ trong $\mathbb{R}$ chứng minh rằng hàm số gián đoạn tại mọi điểm.

[Hoang72]

Đặt $f(x) = D(x)$.

Giả sử tồn tại $x_0\in\mathbb R$ mà $f$ liên tục tại $x_0$.

TH1: $x_0\in\mathbb I$: Tồn tại một dãy $(u_n)\subset \mathbb Q$ mà $\lim u_n = x_0$.

Thế thì $ 0 =f(x_0) = \lim_{x\to x_0} f(x) = \lim f(u_n) = 1$. (vô lí)

TH2: $x_0\in\mathbb Q\setminus \{0\}$: Xét dãy số: $a_n = \frac{\sqrt{n^2+1}}{n}x_0,\forall n\in\mathbb N^*$. Thế thì $(a_n)\subset \mathbb I$

$\Rightarrow 1 = f(x_0) = \lim f(a_n) = 0$. (vô lí)

TH3: $x_0 = 0$: Xét dãy số $u_n = \frac{1}{\sqrt{n^2+1}}$. Chứng minh tương tự ta có điều vô lí.

Vậy hàm số Dirichlet gián đoạn tại mọi điểm.