Cho $a, b, c > 0$ thỏa mãn $a+b+c\leq 6$
Chứng minh rằng $1+\frac{1}{a}+\frac{1}{b}+\frac{1}{c}+\frac{1}{ab}+\frac{1}{bc}+\frac{1}{ca}+\frac{1}{abc}\geq \frac{27}{8}$
Cho $a, b, c > 0$ thỏa mãn $a+b+c\leq 6$
Chứng minh rằng $1+\frac{1}{a}+\frac{1}{b}+\frac{1}{c}+\frac{1}{ab}+\frac{1}{bc}+\frac{1}{ca}+\frac{1}{abc}\geq \frac{27}{8}$
Ta có: $\frac{1}{a}+\frac{1}{b}+\frac{1}{c}\geq \frac{9}{a+b+c}\geq \frac{9}{6}=\frac{3}{2}$
$\frac{1}{ab}+\frac{1}{bc}+\frac{1}{ca}\geq \frac{9}{ab+bc+ca}\geq \frac{27}{(a+b+c)^{2}}=\frac{27}{6^{2}}=\frac{3}{4}$( Theo bất đẳng thức $3(ab+bc+ca)\leq (a+b+c)^{2}$)
Ta có: $abc\leq \frac{(a+b+c)^{3}}{27}\leq \frac{6^{3}}{27}=8 \Rightarrow \frac{1}{abc}\geq \frac{1}{8}$
Ta có: 1+$1+\sum \frac{1}{a}+\sum \frac{1}{ab}+\frac{1}{abc}\geq 1+\frac{3}{2}+\frac{3}{4}+\frac{1}{8}=\frac{27}{8}$
Bài toán được chứng minh.
Ta có: $\frac{1}{a}+\frac{1}{b}+\frac{1}{c}\geq \frac{9}{a+b+c}\geq \frac{9}{6}=\frac{3}{2}$
$\frac{1}{ab}+\frac{1}{bc}+\frac{1}{ca}\geq \frac{9}{ab+bc+ca}\geq \frac{27}{(a+b+c)^{2}}=\frac{27}{6^{2}}=\frac{3}{4}$( Theo bất đẳng thức $3(ab+bc+ca)\leq (a+b+c)^{2}$)
Ta có: $abc\leq \frac{(a+b+c)^{3}}{27}\leq \frac{6^{3}}{27}=8 \Rightarrow \frac{1}{abc}\geq \frac{1}{8}$
Ta có: $1+\sum \frac{1}{a}+\sum \frac{1}{ab}+\frac{1}{abc}\geq 1+\frac{3}{2}+\frac{3}{4}+\frac{1}{8}=\frac{27}{8}$
Bài toán được chứng minh.
Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi toanhoc9: 17-12-2022 - 20:54
0 thành viên, 3 khách, 0 thành viên ẩn danh