Đến nội dung

Hình ảnh

$1+\sum \frac{1}{a}+\sum \frac{1}{ab}+\frac{1}{abc}\geq \frac{27}{8}$


  • Please log in to reply
Chủ đề này có 2 trả lời

#1
Khai Hung

Khai Hung

    Hạ sĩ

  • Thành viên
  • 52 Bài viết

Cho $a, b, c > 0$ thỏa mãn $a+b+c\leq 6$

Chứng minh rằng $1+\frac{1}{a}+\frac{1}{b}+\frac{1}{c}+\frac{1}{ab}+\frac{1}{bc}+\frac{1}{ca}+\frac{1}{abc}\geq \frac{27}{8}$



#2
toanhoc9

toanhoc9

    Binh nhất

  • Thành viên mới
  • 45 Bài viết

Ta có: $\frac{1}{a}+\frac{1}{b}+\frac{1}{c}\geq \frac{9}{a+b+c}\geq \frac{9}{6}=\frac{3}{2}$

         $\frac{1}{ab}+\frac{1}{bc}+\frac{1}{ca}\geq \frac{9}{ab+bc+ca}\geq \frac{27}{(a+b+c)^{2}}=\frac{27}{6^{2}}=\frac{3}{4}$( Theo bất đẳng thức $3(ab+bc+ca)\leq (a+b+c)^{2}$)

         Ta có: $abc\leq \frac{(a+b+c)^{3}}{27}\leq \frac{6^{3}}{27}=8 \Rightarrow \frac{1}{abc}\geq \frac{1}{8}$

Ta có: 1+$1+\sum \frac{1}{a}+\sum \frac{1}{ab}+\frac{1}{abc}\geq 1+\frac{3}{2}+\frac{3}{4}+\frac{1}{8}=\frac{27}{8}$

 Bài toán được chứng minh.



#3
toanhoc9

toanhoc9

    Binh nhất

  • Thành viên mới
  • 45 Bài viết

Ta có: $\frac{1}{a}+\frac{1}{b}+\frac{1}{c}\geq \frac{9}{a+b+c}\geq \frac{9}{6}=\frac{3}{2}$

         $\frac{1}{ab}+\frac{1}{bc}+\frac{1}{ca}\geq \frac{9}{ab+bc+ca}\geq \frac{27}{(a+b+c)^{2}}=\frac{27}{6^{2}}=\frac{3}{4}$( Theo bất đẳng thức $3(ab+bc+ca)\leq (a+b+c)^{2}$)

         Ta có: $abc\leq \frac{(a+b+c)^{3}}{27}\leq \frac{6^{3}}{27}=8 \Rightarrow \frac{1}{abc}\geq \frac{1}{8}$

Ta có: $1+\sum \frac{1}{a}+\sum \frac{1}{ab}+\frac{1}{abc}\geq 1+\frac{3}{2}+\frac{3}{4}+\frac{1}{8}=\frac{27}{8}$

 Bài toán được chứng minh.


Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi toanhoc9: 17-12-2022 - 20:54





3 người đang xem chủ đề

0 thành viên, 3 khách, 0 thành viên ẩn danh