Chủ đề này có 1 trả lời

[Khai Hung]

Cho $a, b, c > 0$ thỏa mãn $a+b+c\leq 6$

Chứng minh rằng $1+\frac{1}{a}+\frac{1}{b}+\frac{1}{c}+\frac{1}{ab}+\frac{1}{bc}+\frac{1}{ca}+\frac{1}{abc}\geq \frac{27}{8}$

 

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi perfectstrong: 11-12-2022 - 00:19
Tiêu đề

[ThienDuc1101]

Áp dụng BĐT Cauchy Schwarz, ta được $1+\frac{1}{a}+\frac{1}{b}+\frac{1}{c}+\frac{1}{ab}+\frac{1}{bc}+\frac{1}{ca}+\frac{1}{abc}\geq 1+\frac{9}{a+b+c}+\frac{9}{ab+bc+ca}+\frac{1}{abc}$

Mà $a+b+c\leq 6$, khi đó, ta có $ab+bc+ca\leq \frac{(a+b+c)^2}{3}=12,abc\leq \frac{(a+b+c)^3}{27}=8$

Thay vào, ta có $VT\geq 1+\frac{3}{2}+\frac{3}{4}+\frac{1}{8}=\frac{27}{8}$ (đpcm)

Dấu = xảy ra khi $a=b=c=2$

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi ThienDuc1101: 10-12-2022 - 18:37