Chủ đề này có 7 trả lời

[Nobodyv3]

1/ Có bao nhiêu cách chọn n viên bi từ 3 bi đỏ, 3 bi vàng, 3 bi trắng và 3 bi xanh ( các bi chỉ khác nhau về màu sắc).
2/ Hãy tính số xâu có kích thước là 10 lập từ các chữ số 1,2,3,4,5,6,7 sao cho trong xâu không có chữ số nào xuất hiện đúng 3 lần.
3/ Kết quả tung đồng xu 25 lần được ghi thành 1 dãy. Hỏi có bao nhiêu cách tung sao cho có đúng 5 mặt ngửa và không có quá 7 mặt sấp liên tiếp.

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi Nobodyv3: 10-12-2022 - 19:50

[chanhquocnghiem]

1/ Có bao nhiêu cách chọn n viên bi từ 3 bi đỏ, 3 bi vàng, 3 bi trắng và 3 bi xanh ( các bi chỉ khác nhau về màu sắc).

Ta có hàm sinh $f(x)=(1+x+x^2+x^3)^4=\left ( \frac{1-x^4}{1-x} \right )^4=(1-4x^4+6x^8-4x^{12}+x^{16})\sum_{k=0}^{\infty}C_{k+3}^3x^k$

$=x^{12}+4x^{11}+10x^{10}+20x^9+31x^8+40x^7+44x^6+40x^5+31x^4+20x^3+10x^2+4x+1$

Số cách chọn là $\left [ x^n \right ]f(x)$.
 

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi chanhquocnghiem: 11-12-2022 - 07:18

[chanhquocnghiem]

2/ Hãy tính số xâu có kích thước là 10 lập từ các chữ số 1,2,3,4,5,6,7 sao cho trong xâu không có chữ số nào xuất hiện đúng 3 lần.

Số xâu có kích thước là $10$ lập từ $7$ chữ số đã cho là $7^{10}$. Trong số đó :

Gọi $M$ là số xâu có ít nhất $1$ chữ số xuất hiện đúng $3$ lần $\Rightarrow M=C_7^1C_{10}^3.6^7$.

       $N$ là số xâu có ít nhất $2$ chữ số xuất hiện đúng $3$ lần $\Rightarrow N=C_7^2C_{10}^3C_7^3.5^4$.

       $P$ là số xâu có $3$ chữ số xuất hiện đúng $3$ lần $\Rightarrow P=C_7^3C_{10}^3C_7^3C_4^3.4$.

Số xâu thỏa mãn điều kiện đề bài là $7^{10}-M+N-P=100102009$.
 

[chanhquocnghiem]

3/ Kết quả tung đồng xu 25 lần được ghi thành 1 dãy. Hỏi có bao nhiêu cách tung sao cho có đúng 5 mặt ngửa và không có quá 7 mặt sấp liên tiếp.

Gọi $s_1$ là số lần ra mặt sấp trước lần ra mặt ngửa đầu tiên.

      $s_2$ là số lần ra mặt sấp giữa lần ra mặt ngửa đầu tiên và lần ra mặt ngửa thứ hai.

      ..........................................................

      $s_6$ là số lần ra mặt sấp sau lần ra mặt ngửa thứ năm.

$\Rightarrow s_1+s_2+s_3+...+s_6=20$ với $0\leqslant s_i\leqslant 7$.

Ta có hàm sinh $f(x)=(1+x+x^2+x^3+x^4+x^5+x^6+x^7)^6=\left ( \frac{1-x^8}{1-x} \right )^6=\sum_{j=0}^{6}C_6^j(-1)^jx^{8j}.\sum_{k=0}^{\infty}C_{k+5}^5x^k$

Số cách thỏa mãn yêu cầu là $\left [ x^{20} \right ]f(x)=C_{25}^5-C_6^1C_{17}^5+C_6^2C_9^5=17892$.
 

[Nobodyv3]

1/ Đề nghị 1 cách trình bày kết quả :
Ta có hàm sinh : $f(x)=(1-x^4)^4(1-x)^{-4}$
Gọi $a_n$ là số cách chọn bi thỏa yêu cầu và do $0\leq n\leq 12$ nên :
$a_n=\left [ x^n \right ]f(x)=\left [ x^n \right ]\left ( 1-4x^4+6x^8-4x^{12}+\mathcal{O}(x^{16}) \right )\sum_{k\geq 0}\binom{k+3}{3}x^k\\
\Longrightarrow a_n=\binom{n+3}{3}-4\binom{n-1}{3}[[n\geq 4]]+6\binom{n-5}{3}[[n\geq8]]-4[[n=12]]$
Trong đó ký hiệu $[[P]]=1$ khi $P$ đúng và bằng $0$ khi ngược lại.
Hoặc là :
$a_n=\begin{cases}
\binom{n+3}{3}& 0\leq n\leq 3,\\
\binom{n+3}{3}-4\binom{n-1}{3}&4\leq n\leq 7,\\
\binom{n+3}{3}-4\binom{n-1}{3}+6\binom {n-5}{3}&8\leq n\leq 11,\\
\binom{n+3}{3}-4\binom{n-1}{3}+6\binom {n-5}{3}-4&n=12.
\end{cases}$

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi Nobodyv3: 11-12-2022 - 13:54

[chanhquocnghiem]

1/ Đề nghị 1 cách trình bày kết quả :
Ta có hàm sinh : $f(x)=(1-x^4)^4(1-x)^{-4}$
Gọi $a_n$ là số cách chọn bi thỏa yêu cầu và do $0\leq n\leq 12$ nên :
$a_n=\left [ x^n \right ]f(x)=\left [ x^n \right ]\left ( 1-4x^4+6x^8-4x^{12}+\mathcal{O}(x^{16}) \right )\sum_{k\geq 0}\binom{k+3}{3}x^k\\
\Longrightarrow a_n=\binom{n+3}{3}-4\binom{n-1}{3}[[n\geq 4]]+6\binom{n-5}{3}[[n\geq8]]-4[[n=12]]$
Trong đó ký hiệu $[[P]]=1$ khi $P$ đúng và bằng $0$ khi ngược lại.
Hoặc là :
$a_n=\begin{cases}
\binom{n+3}{3}& 0\leq n\leq 3,\\
\binom{n+3}{3}-4\binom{n-1}{3}&4\leq n\leq 7,\\
\binom{n+3}{3}-4\binom{n-1}{3}+6\binom {n-5}{3}&8\leq n\leq 11,\\
\binom{n+3}{3}-4\binom{n-1}{3}+6\binom {n-5}{3}-4&n=12.
\end{cases}$

$a_n=\binom{n+3}{3}-4\binom{n-1}{3}+6\binom{n-5}{3}-4\binom{n-9}{3}+\binom{n-13}{3}$

Chỉ một công thức ngắn gọn mà đúng với mọi số tự nhiên $n$.

[Nobodyv3]

$a_n=\binom{n+3}{3}-4\binom{n-1}{3}+6\binom{n-5}{3}-4\binom{n-9}{3}+\binom{n-13}{3}$
Chỉ một công thức ngắn gọn mà đúng với mọi số tự nhiên $n$.

Vâng, khi làm việc với n người ta rất thường sử dụng hình thức này.

[Nobodyv3]

2/ Dưới đây em sử dụng hàm sinh để giải, tuy hơi dài nhưng theo em, nó có nét hay riêng!
Xét $f(x)=e^x-\frac{x^3}{3!}=1+x+\frac {x^2}{2!}+\frac {x^4}{4!}+\frac {x^5}{5!}+...$
Ta thấy $n!\left[ x^n\right] f(x)$ là số xâu kích thước n được lập từ $\left \{ 1 \right \}$ mà không có chữ số nào xuất hiện đúng 3 lần.
Xét hệ số của $x^4$ trong $f(x)^2$ ta có $1.\frac {x^4}{4!}+\frac {x^2}{2!}.\frac {x^2}{2!}+\frac {x^4}{4!}.1$ và khi nhân với $4!$ ta được $\left ( 1+\frac {4!}{2!2!}+1 \right )x^4$, đây là số xâu có kích thước là 4 được lập từ $\left \{ 1 ,2\right \}$ mà không có chữ số nào xuất hiện đúng 3 lần..và.. vv....
Từ đó ta thấy đa thức $F(x)=f(x)^7= \left ( e^x-\frac{x^3}{3!}\right )^7$ là hàm sinh cho số các xâu lập từ $\left \{ 1,2,3,4,5,6,7 \right \}$ mà không có chữ số nào xuất hiện đúng 3 lần. Do đó $10! \left[x^{10} \right ]F(x)$ là số xâu cần tính và bằng $\boldsymbol {100102009}$.