Đến nội dung


Chú ý

Nếu các bạn đăng kí thành viên mà không nhận được email kích hoạt thì hãy kiểm tra thùng thư rác (spam). Nếu không biết cách truy cập vào thùng thư rác thì các bạn chịu khó Google hoặc đăng câu hỏi vào mục Hướng dẫn - Trợ giúp để thành viên khác có thể hỗ trợ.


Hình ảnh

Bài toán về đồng xu giả của giáo sư người ý và cộng sự năm 1997


  • Please log in to reply
Chưa có bài trả lời

#1 Dreamvip

Dreamvip

    Binh nhất

  • Thành viên mới
  • 20 Bài viết

Đã gửi 15-06-2020 - 09:27



chứng minh rằng : , ta gọi x là số lần cân , x là số tự nhiên ≥ 3 , , ta luôn tìm 1 đồng bị lỗi (đồng bị lỗi không biết nặng hơn hay nhẹ hơn so với các đồng còn lại). qua số lân cân là x và số đồng tối đa là:

2.[3^(x-2)+ 3^(x-3)+3^(x-4)..+3^(x-x)]+[3^(x-2)+ 3^(x-3)+ 3^(x-4)...+3^(x-x)] +4-x

trong đó luôn tìm được 1 đồng tiền bị lỗi . ở đây đồng bị lỗi không biết năng hay nhẹ hơn so với các đồng còn lại.

Bài giải:

Đầu tiên ta có bài toán:



có 13 đồng tiền trong đó có 1 đồng bị lỗi không biết nặng hơn hay nhẹ hơn đồng tiền còn lại qua 3 lần cân thăng bằng tìm gia đồng bị lỗi. Lời giải:

Ta đánh đấu từng đồng bằng các số từ 1 đến 13 , ta chia thành 3 nhóm nhóm A là nhóm có số đồng từ số 1 đến số 4 , nhóm B có số đồng từ 5 đến 8 , nhóm C có số đồng từ 9 đến 13 , lần cân thứ nhất: ta cho nhóm A cân với nhóm B nếu cân thằng bằng thì nhóm C sẽ có 1 đồng bị lỗi , ta cho đồng 12 , 13 gia ngoài, cho thêm đồng số 1 vào cùng với đồng số 9 cho lên cân vơi đồng số 11 và đồng số 10 nếu cân thăng bằng thì đồng số 1 2 và đồng số 13 có 1 đồng bị lỗi . Ta cân 1 trong 2 đồng trên vơi bất kể đồng còn lại nào thì có thể tìm gia được đồng bị lỗi, nếu cân lệnh ta gi nhớ xem nhóm nào nặng hơn , vậy là trong 3 đồng 9, 10, 11 có 1 đồng bị lỗi , lần cân thứ 3 ta cho đồng số 10 cân với đồng số 11 nếu cân thăng bằng thì đồng số 9 bị lỗi còn cân lệch thì đồng số 11 và 10 có 1 đồng bị lỗi ta lấy 2 đồng cân vơi nhau và để ý xem đồng nào cùng nặng hoặc cùng nhẹ như nhóm này ở lần cân số 2 là đồng bị lỗi.

Quay chở lại trường hợp cân nhóm A với Nhóm B nếu cân không thăng bằng ta gi nhớ xem nhóm nào nặng hơn. Ta bỏ đồng số 4 của nhóm A và đồng số 7,8 của nhóm B gia ngoài. Cho đồng số 3 sang nhóm B đồng số 6 sang nhóm A . Vậy nhóm A có đồng 1 ,2 ,6 nhóm B có đồng 3 ,5 và đồng số 9 cho thêm vào không bị lỗi. Nếu cân thăng bằng thì 3 đồng 4 ,7,8 có đồng lỗi, ta lấy đồng 7 cân với đồng 8 cũng suy luận như nhóm C là tìm đc đồng bị lỗi. Nếu cân đảo chiều thì đồng 3 hoặc đồng 6 bị lỗi, còn lần cân còn lại tìm gia được đồng nào bị lỗi. Nếu cân vẫn lệch như lần cân số 1 thì 3 đồng 1,2,5 có đồng bị lỗi ta cũng cân đồng số 1 với đồng số 2 như cách cân ở nhóm C có thể tìm gia đồng bị lỗi.

từ dữ niệu bài toán ta có :

Với 3 lần cân ta cân được tối đa 13 đồng tiền ,

Với 4 lần cân ta cân được tối đa là 39 đồng tiền ( cái này rất dễ nhầm vì thông thường ở lần cân đầu tiên nếu cân không thăng bằng thì với 3 lần cân ta chỉ cân được 8 đông tiền nhưng vơi 4 lần cân chở lên mà lần đâu tiên cân lệch thì trong 3 lần cân còn lại ta có tối đa 9 đồng xu và xác định được 1 đồng bị lỗi trong đó ) vì đơn giản là 39 đông chia thành nhóm a với 13 cân vơi nhóm b với13 đồng , nếu thăng bằng thì 13 đồng còn lại bị lỗi và với 3 lần cân còn lại tìm đc đồng bị lỗi trong 13 đồng như là làm, còn cân lệch thì chia thành 3 nhóm 9,9,8 lấy ghép mỗi bên bên này 4 thì bên kia 5 có 3 khả năng xẩy ra ứng với 3 nhóm có số đồng là 9 hoặc 9, hoặc 8 bị lỗi , nếu 9 đồng bị lỗi thì lại chị làm 3,3,3 khác với bài toán 13 đông xu ta chia đc 3,3,2 do khi cân 2 nhóm số đồng xu cộng lại không thể lẻ đc nhầm tổng quát ở chỗ này. ta có thể cân nhóm a với nhóm b mà cân bị lệch tổng số là 27 đồng qua 4 lần cân tìm gia đồng bị lỗi . nhung do số đồng của nhóm a phải bằng số đồng của nhóm b mà 3^3 là số lẻ mà 3^x ( với x là số tự nhiên cũng luôn là số lẻ ) lên do vậy với lần cân nhóm a với nhóm b chúng ta chỉ có tìm gia đồng bị lỗi trong 3^(3-1 )đồng

Với 5 lần cân thì ta được số đồng tối đa là 119 , lấy 40 đồng cân với 40 đông , cân thằng bằng thì 39 đông còn lại bị lỗi với 4 lần cân còn lại tìm đc 1 đồng bị lỗi như trên.

Với 6 lần cân ta đc số đồng tối đa là 361 đồng lấy 121 cân với 121 đồng nếu cân thằng bằng thì 119 đồng còn lại bị lỗi còn cân lệch thì 242 đồng bị lỗi cho thêm 1 đồng không bị lỗi vào ta chia thành 3 nhóm mỗi nhóm có 81 đồng sắp xếp sao cho mỗi bên có 40 hoặc 41 đồng của của lần lượt 2 nhóm trên .

Với 7 lần ta có số đồng tối đa xác định đc là 364+364+361 tổng số là 1089

với 8 lần cân ta có số đồng tối đa xác định được 1 đồng bị lỗi là : 1093+1093+1089=3275

với 9 lần cân ta luôn được số đồng xu tối đa để tìm được 1 đồng xu bị lỗi là : 3280+3280+3275=9835.

đi giờ cùng chứng minh tổng quát nhé : 2[3^(x-2)+ 3^(x-3)+3^(x-4)..+3^(x-x)] + [3^(x-2)+ 3^(x-3)+3^(x-4)..+3^(x-x)] +4-x , ta chia thành 3 nhóm để lên cân : nhóm a là nhóm số đồng [3^(x-2)+ 3^(x-3)+3^(x-4)..+3^(x-x)] cân với nhóm b là nhóm có số đồng: [3^(x-2)+ 3^(x-3)+3^(x-4)..+3^(x-x)] nhóm c là nhóm có số đồng : [3^(x-2)+ 3^(x-3)+3^(x-4)..+3^(x-x)] +4-x. tay lấy nhóm a cân với nhóm b nếu cân thăng bằng thì trong nhóm c có 1 đồng bị lỗi . ta chỉ cần chứng minh nhóm c chính là tổng số của lần cân là x-1 . với lần cân là x-1 ta có số đồng tối đa tìm gia 1 đồng bị lỗi là : 2.[3^(x-3)+3^(x-4)..+3^(x-x)]+[3^(x-3)+ 3^(x-4)...+3^(x-x)] +4-(x-1)= 3.3^(x-3)+3.3^(x-4)...+3.3^(x-x) +4-x+1= [3^(x-2)+ 3^(x-3)+ 3^(x-4)...+3^(x-x)] +4-x=c ,

nếu cân a với b mà khối lượng không băng nhau thì ta có trong nhóm a và nhóm b có 1 đồng bị lỗi . do số đồng của a bằng số đồng của b .mà từ bài toán 4 lần cân ta luôn tìm được 3^3 đồng xu nhưng do 3^3 =27 là 1 số lẻ mà số lẽ thì không chia hết cho 2 lên phải giảm bớt 1 đồng đi là 3^3-1 =26 đồng . giờ ta lấy số đồng của a cộng với số đồng của b cộng với 1:.[3^(x-2)+ 3^(x-3)+3^(x-4)..+3^(x-x)]+[3^(x-2)+ 3^(x-3)+ 3^(x-4)...+3^(x-x)] +1=2.3^(x-2)+ 2.3^(x-3)+2.3^(x-4)..+2.3^(x-x)+1=3^(x-1) đây là số chia hết cho 3 và là thỏa mãn yêu cầu của bài toán cân 4 lần.

P/S: em cũng là người kém hiểu biết nếu em giải sai hoặc đăng sai chỗ xin bỏ qua cho e nhé.




1 người đang xem chủ đề

0 thành viên, 1 khách, 0 thành viên ẩn danh