Chào mọi người, em đang cắn bút với bài toán này, hướng thì có vẻ ra rồi nhưng mãi mà vẫn không giải được. Mong mọi người chỉ giáo, hoặc gợi ý cho em được không ạ. Đề bài như sau:
X và Y cùng chơi một trò với quy tắc như sau:
1) Từ một chiếc hộp có 4 viên bi-a, 2 viên bi đỏ không được đánh số và 2 viên bi trắng được đánh số "1" và "2", 2 bạn phải bốc 1 viên theo thứ tự X trước Y sau. Khi đã bốc thì trong một lượt không được bỏ lại vào hộp.
2) Sau khi 2 bạn cùng bốc mỗi người 1 viên, thì dùng cách tính điểm như sau:
a) Nếu bốc được bi trắng, thì điểm sẽ tính bằng con số được đánh trên viên bi trắng đó
b) Nấu bốc phải bi đỏ, thì phải bốc thêm 1 viên nữa từ hộp. Lần này, bốc phải viên trắng thì sẽ bị 0 điểm, còn được viên đỏ thì sẽ tính 3 điểm.
3) Chơi theo các bước từ (1) và (2) cho đến khi mỗi bạn đều có điểm số của riêng mình, thì ta coi đây là 1 lượt. Sau mỗi lượt, thì sẽ để toàn bộ bi đã bốc vào lại trong hộp. Và cứ thế chơi nhiều lượt, nhưng điểm số thì sẽ là lũy kế, cộng dồn.
(4) Nếu như điểm số có sự chênh lệch lớn hơn hoặc bằng 2 điểm, thì sẽ kết thúc trò chơi. Ai được nhiều điểm hơn sẽ là người thắng.
Câu hỏi: Cho $n$ là một số nguyên dương. Gọi $P_{n}$ là xác suất sau $n$ lượt mà trò chơi vẫn chưa kết thúc(vẫn chưa có ai hơn người kia 2 điểm trở lên, tính cả trường hợp lệch 2 điểm). Hãy chứng minh bất đẳng thức sau:
$$\left ( \frac{7}{12} \right )^{n}<{P_{n}}\leq\left ( \frac{2}{3} \right )^{n}$$
Và sau đây em xin trình bày những gì mà em đã nháp được:
1. Tuy X bốc trước Y, nhưng dường như 2 bạn vẫn bình đẳng trong góc nhìn để trò chơi kết thúc nhanh hay chậm.
2. Các xác suất nhỏ được em tính ra như sau:
Xác suất để 1 bạn bằng bạn kia trong việc tăng cường điểm số sau 1 lượt, là $\frac{1}{6}$.
Xác suất để 1 bạn hơn bạn kia 1 điểm trong việc tăng cường điểm số sau 1 lượt, là $\frac{1}{2}$.
Xác suất để 1 bạn hơn bạn kia 2 điểm trong việc tăng cường điểm số sau 1 lượt, là $\frac{1}{3}$.
3. Tại một lượt bất kì khi trò chơi chưa kết thúc(lượt đó vẫn chưa diễn ra), thì có thể chia làm 2 trường hợp. Để kết thúc lượt này mà trò chơi vẫn có thể tiếp diễn, thì
a) Một là khi tổng điểm mỗi bạn đang bằng nhau: số điểm 2 bạn kiếm được trong lượt này lệch nhau bé hơn hoặc bằng 1 điểm. Tổng số xác suất đơn lẻ cho lượt này từ trường hợp này sẽ là:
$\frac{1}{6} +\frac{1}{2}=\frac{2}{3}$
b) Hai là họ chỉ hơn nhau 1 trong tổng điểm: lúc này lại chia làm 3 trường hợp nhỏ. Một là số điểm lượt này bằng nhau, hai là sau lượt này tổng điểm được san bằng, ba là từ thế bị dẫn thì người trước đó thua cuộc lội ngược dòng, nhưng chỉ được phép hơn 1 điểm trong tổng điểm(tức là lượt này, người ngược dòng đó kiếm được hơn bạn kia tận 2 điểm). Tổng số xác suất đơn lẻ cho lượt này từ trường hợp này sẽ là:
$\frac{1}{6} +\frac{1}{6}+\frac{1}{4}=\frac{7}{12}$
Em cũng mò theo kiểu tính xác suất lượt thứ $n$ theo dãy số những vẫn chưa ghép sao cho khéo được ạ. Mong mọi người giúp đỡ em với bài toán này. Em không giỏi tiếng Việt cũng như từ ngữ chuyên ngành xác suất nên trình bày lủng củng, mọi người thông cảm ạ!
Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi perfectstrong: 12-12-2022 - 14:31
Tiêu đề
