Chủ đề này có 12 trả lời

[Nobodyv3]

1/ Tính
$$S=\frac{C_{100}^{1}}{100}+\frac{C_{100}^{2}}{99}+\frac{C_{100}^{3}}{98}+...+\frac{C_{100}^{100}}{1}$$
2/ Có bao nhiêu cách xếp 5 người có chiều cao khác nhau thành 1 hàng sao cho không có 3 người liên tiếp nào có chiều cao tăng dần hoặc giảm dần.
3/ Có bao nhiêu số tự nhiên 5 chữ số được lập từ 1,2,3,4,5,6,7 chia hết cho 11.
4/Phương trình $x+2y+2z=n$ có 36 bộ nghiệm x,y,z nguyên dương, hãy tính số nguyên dương n.

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi Nobodyv3: 15-12-2022 - 17:40

[chanhquocnghiem]

1/ Tính
$$S=\frac{C_{100}^{1}}{100}+\frac{C_{100}^{2}}{99}+\frac{C_{100}^{3}}{98}+...+\frac{C_{100}^{100}}{1}$$

Ta có $C_{100}^1x^{99}+C_{100}^2x^{98}+C_{100}^3x^{97}+...+C_{100}^{100}=(x+1)^{100}-x^{100}$

Lấy tích phân từ $0$ đến $1$ của 2 vế, ta có :

$\left [ \frac{C_{100}^1x^{100}}{100}+\frac{C_{100}^2x^{99}}{99}+\frac{C_{100}^3x^{98}}{98}+...+\frac{C_{100}^{100}x}{1} \right ]_0^1=\int_{0}^{1}\left [ (x+1)^{100}-x^{100} \right ]dx$

$\Leftrightarrow \frac{C_{100}^1}{100}+\frac{C_{100}^2}{99}+\frac{C_{100}^3}{98}+...+\frac{C_{100}^{100}}{1}=\left [ \frac{(x+1)^{101}-x^{101}}{101} \right ]_0^1=\frac{2^{101}-2}{101}$.
 

[chanhquocnghiem]

2/ Có bao nhiêu cách xếp 5 người có chiều cao khác nhau thành 1 hàng sao cho không có 3 người liên tiếp nào có chiều cao tăng dần hoặc giảm dần.

Ký hiệu $5$ người từ thấp đến cao lần lượt là các chữ số $1,2,3,4,5$ và các vị trí từ trái sang phải là $a,b,c,d,e$.

$\textbf{TH1}$ ($1$ và $2$ cạnh nhau)

+ Xếp $2$ đứng đầu hoặc cuối và $1$ đứng bên cạnh $2$ : Có $2$ cách ($\overline{ab}=\overline{21}$ hoặc $\overline{de}=\overline{12}$)

+ Xếp $3$ vào vị trí chẵn còn lại : $1$ cách.

+ Xếp $4$ và $5$ vào $2$ vị trí còn lại : $2$ cách.

$\textbf{TH2}$ ($1$ và $2$ không đứng cạnh nhau)

$\textit{2.1}$ ($1$ và $2$ ở vị trí chẵn) : Có $2!.3!=12$ cách.

$\textit{2.2.1}$ ($1$ và $2$ ở vị trí lẻ, $3$ ở vị trí lẻ) : Có $2!.3!=12$ cách.

$\textit{2.2.2}$ ($1$ và $2$ ở vị trí lẻ, $3$ ở vị trí chẵn) :

+ Xếp $4$ đứng đầu hoặc cuối và $5$ đứng bên cạnh $4$ : Có $2$ cách ($\overline{ab}=\overline{45}$ hoặc $\overline{de}=\overline{54}$)

+ Xếp $3$ vào vị trí chẵn còn lại : $1$ cách.

+ Xếp $1$ và $2$ vào $2$ vị trí còn lại : $2$ cách.

Số cách thỏa mãn điều kiện đề bài là : $2.1.2+12+12+2.1.2=32$ cách.

[Nobodyv3]

Welcome back!
1/ Đánh máy nhầm đáp án: $\frac {2^{101}-1}{101}$
2/ Cách khác, dùng nguyên lý bù trừ :
Ký hiệu các vị trí đứng từ trái qua phải là a,b,c,d,e.
Gọi $X,Y,Z$ lần lượt là các biến cố mà 3 người đứng ở vị trí abc, bcd, cde có chiều cao tăng dần ( hoặc giảm dần).
Ta thấy :
$\left | X \right |=\left | Y \right |=\left | Z \right |=\binom{5}{3}.2.2=40$ (2 TH tăng hoặc giảm dần và 2 cách chọn vị trí cho 2 người còn lại).
Do tính đối xứng, nên :
$\left | X \cap Y\right |=\left | Y \cap Z\right |=\binom{5}{4}.2=10$ ( vì các người ở vị trí a,b,c,d phải có chiều cao tăng dần hoặc giảm dần).
Tính $\left | X \cap Z\right |$ có các TH:
- $X$ giảm, $Z$ tăng : người thấp nhất đứng giữa :$\binom {4}{2}$ cách
- $X$ tăng , $Z$ giảm :$\binom {4}{2}$ cách
- $X$ giảm , $Z$ giảm :$1$ cách
- $X$ tăng , $Z$ tăng :$1$ cách
Vậy $\left | X \cap Z\right |=6.2+2=14$ cách
và dễ thấy $\left | X \cap Y \cap Z\right |=2$ cách.
Theo nguyên lý bù trừ ta có đáp án:
$5!-40.3+(10.2+14)-2=\boldsymbol {32}$

[chanhquocnghiem]

3/ Có bao nhiêu số tự nhiên 5 chữ số được lập từ 1,2,3,4,5,6,7 chia hết cho 11.

Các số tự nhiên thỏa mãn yêu cầu đề bài có dạng $\overline{abcde}$.

Đặt $s_1=a+c+e$ ($3\leqslant s_1\leqslant 21$) ; $s_2=b+d$ ($2\leqslant s_2\leqslant 14$)

Ta có các hàm sinh $f(x)=(x+x^2+...+x^7)^3=(x^3-3x^{10}+3x^{17}-...)\sum_{k=0}^{\infty}C_{k+2}^2x^k$

Và $g(x)=(x+x^2+...+x^7)^2=(x^2-2x^9+...)\sum_{k=0}^{\infty}C_{k+1}^1x^k$

$\textbf{TH1}$ : $s_1-s_2=-11\Rightarrow s_1=3$, $s_2=14\rightarrow$ Có $1$ số thỏa mãn.

$\textbf{TH2}$ : $s_1-s_2=0\Rightarrow s_1=s_2=m$ ($m$ chạy từ $3$ đến $14$)

$\left [ x^m \right ]f(x).\left [ x^m \right ]g(x)=\left ( C_{m-1}^2-3C_{m-8}^2 \right )\left ( C_{m-1}^1-2C_{m-8}^1 \right )$

Số số tự nhiên thỏa mãn là $\sum_{m=3}^{14}\left [ (C_{m-1}^2-3C_{m-8}^2)(C_{m-1}^1-2C_{m-8}^1) \right ]=1015$.

$\textbf{TH3}$ : $s_1-s_2=11\Rightarrow s_2=m$, $s_1=m+11$ ($m$ chạy từ $2$ đến $10$)

Số số tự nhiên thỏa mãn là $\sum_{m=2}^{10}\left [ (C_{m+10}^2-3C_{m+3}^2+3C_{m-4}^2)(C_{m+10}^1-2C_{m+3}^1) \right ]=470$

 

Tổng số số tự nhiên thỏa mãn đề bài là $1+1015+470=1486$.

 

[Nobodyv3]

3/ Cách khác :
Ta có :
$\left ( a+c+e \right )_{max}=7.3=21$ và $ (b+d)_{min}=1.2=2$
Do đó :
$\left ( a+c+e \right )-(b+d)=
\begin {cases}
\:\:\:11\\
\:\:\:\:0\\
-11
\end{cases}$
Ta có hàm sinh :
$f(x)=\left (x+x^2+...+x^7 \right )^3\left ( x^{-1}+x^{-2}+...+x^{-7} \right )^2=...+325x^{12}+470x^{11}+...+x^{-11}+...+1015$
Đáp án là :
$\left ( \left [ x^{11} \right ]+\left [ x^{0} \right ]+\left [ x^{-11} \right ] \right )f(x)=470+1015+1=\boldsymbol {1486}$

[chanhquocnghiem]

4/Phương trình $x+2y+2z=n$ có 36 bộ nghiệm x,y,z nguyên dương, hãy tính số nguyên dương n.

Ta có hàm sinh $f(x)=\frac{x}{1-x}.\left ( \frac{x^2}{1-x^2} \right )^2=x^5.\sum_{j=0}^{\infty}x^j.\sum_{k=0}^{\infty}C_{k+1}^1x^{2k}$

$\left [ x^{2m} \right ]f(x)=\left [ x^{2m-1} \right ]f(x)=C_1^1+C_2^1+C_3^1+...+C_{m-2}^1=\frac{(m-1)(m-2)}{2}=36\Rightarrow m=10$

Vậy có $2$ số $n$ thỏa mãn là $19$ và $20$.

[chanhquocnghiem]

1/ Đánh máy nhầm đáp án: $\frac {2^{101}-1}{101}$

Câu này đáp án đúng là $\frac{2^{101}-2}{101}$ chứ nhỉ ?
 

[Nobodyv3]

Câu này đáp án đúng là $\frac{2^{101}-2}{101}$ chứ nhỉ ?

Em làm như vầy :
Ta có :
$(x+1)^{100}=\binom{100}{0}x^{100}+\binom{100}{1}x^{99}+\binom{100}{2}x^{98}+...+\binom{100}{100}$
Tích phân 2 vế:
$\frac{(x+1)^{101}}{101}=\binom{100}{0}\frac{x^{101}}{101}+\binom{100}{1}\frac{x^{100}}{100}+\binom{100}{2}\frac{x^{99}}{99}+...+\binom{100}{100}x$
Hay là :
$\binom{100}{1}\frac{x^{100}}{100}+\binom{100}{2}\frac{x^{99}}{99}+...+\binom{100}{100}x=\frac{(x+1)^{101}}{101}-\binom{100}{0}\frac{x^{101}}{101}$
Thay $x=1$ ta được $\boldsymbol{\frac{1}{101}(2^{101}-1)}$

[chanhquocnghiem]

Em làm như vầy :
Ta có :
$(x+1)^{100}=\binom{100}{0}x^{100}+\binom{100}{1}x^{99}+\binom{100}{2}x^{98}+...+\binom{100}{100}$
Tích phân 2 vế:
$\frac{(x+1)^{101}}{101}=\binom{100}{0}\frac{x^{101}}{101}+\binom{100}{1}\frac{x^{100}}{100}+\binom{100}{2}\frac{x^{99}}{99}+...+\binom{100}{100}x$
Hay là :
$\binom{100}{1}\frac{x^{100}}{100}+\binom{100}{2}\frac{x^{99}}{99}+...+\binom{100}{100}x=\frac{(x+1)^{101}}{101}-\binom{100}{0}\frac{x^{101}}{101}$
Thay $x=1$ ta được $\boldsymbol{\frac{1}{101}(2^{101}-1)}$

Cách đó không đúng. Hãy xem một bài tương tự :

$(x+1)^5=\binom{5}{0}x^5+\binom{5}{1}x^4+\binom{5}{2}x^3+\binom{5}{3}x^2+\binom{5}{4}x+\binom{5}{5}$

Tích phân 2 vế :

$\frac{(x+1)^6}{6}=\binom{5}{0}\frac{x^6}{6}+\binom{5}{1}\frac{x^5}{5}+\binom{5}{2}\frac{x^4}{4}+\binom{5}{3}\frac{x^3}{3}+\binom{5}{4}\frac{x^2}{2}+\binom{5}{5}x$

Hay là :

$\binom{5}{1}\frac{x^5}{5}+\binom{5}{2}\frac{x^4}{4}+\binom{5}{3}\frac{x^3}{3}+\binom{5}{4}\frac{x^2}{2}+\binom{5}{5}x=\frac{(x+1)^6}{6}-\frac{x^6}{6}$

Thay $x=1$, ta được $\frac{\binom{5}{1}}{5}+\frac{\binom{5}{2}}{4}+\frac{\binom{5}{3}}{3}+\frac{\binom{5}{4}}{2}+\frac{\binom{5}{5}}{1}=\frac{1}{6}.\left ( 2^6-1 \right )$

Nhưng vế trái bằng $1+\frac{5}{2}+\frac{10}{3}+\frac{5}{2}+1=\frac{31}{3}$, còn vế phải bằng $\frac{21}{2}$, làm sao mà bằng nhau được ?
 

[Nobodyv3]

Cảm ơn anh,em cũng không kiểm tra lại, không biết sai chỗ nào...

[chanhquocnghiem]

Cảm ơn anh,em cũng không kiểm tra lại, không biết sai chỗ nào...

Sai ở chỗ "tích phân 2 vế" (gọi chính xác là lấy nguyên hàm 2 vế).

Nếu $f(x)=g(x)$ thì $\int_{a}^{b}f(x)dx=\int_{a}^{b}g(x)dx$

nhưng chưa chắc $\int f(x)dx=\int g(x)dx$ (chúng có thể hơn kém nhau một hằng số $C\neq 0$)

Chẳng hạn một chất điểm chuyển động với gia tốc không đổi $a=2m/s^2$ thì chưa chắc vận tốc của nó là $v=2t\ (m/s)$.

[Nobodyv3]

Chính xác.Cảm ơn anh.