Cho dãy các đa thức $P_{0}(x)=x-2$; $P_{n}(x)=(P_{n-1}(x))^{2}-2$ với mọi $n\geq 1$. Tìm hệ số của $x^{2}$ trong $P_{2}(x)$ và trong $P_{n}(x)$
Tìm hệ số của $x^{2}$ trong $P_{2}(x)$ và trong $P_{n}(x)$
#1
Đã gửi 16-12-2022 - 12:32
$Em$ $đẹp$ $như$ $chiếc$ $cúp$ $Euro$ $2020$ $vậy$
$Vì$ $em$ $là$ $của$ $người$ $Ý$ $chứ$ $không$ $phải$ $Anh$
$Thì$ $chả$ $thế$ $à$ $?$
#2
Đã gửi 17-12-2022 - 10:25
Ta có $P_1(x) = (x-2)^2 - 2=x^2 - 4x + 2$.
Đặt $a_n,b_n,c_n$ lần lượt là hệ số tự do, hệ số của $x$ và hệ số của $x^2$ trong $P_n(x)$.
Thế thì $a_1 = 2; b_1 = -4; c_1 = 1$.
Đồng thời $a_n = a_{n-1}^2 - 2,\forall n\in\mathbb N^*$.
Từ đây, dễ thấy $a_n = 2,\forall n\in\mathbb N^*$.
Đồng nhất hệ số, có $b_n = 2b_{n-1}a_{n-1},\forall n\in\mathbb N^*\Rightarrow b_n = -4^n,\forall n\in\mathbb N^*$.
Tiếp tục đồng nhất hệ số ta có $c_n = 2a_{n-1}c_{n-1} + b_{n-1}^2,\forall n\in\mathbb N^* \Rightarrow c_n = 4c_{n-1} + {16}^{n-1},\forall n\geq 2$
$\Rightarrow c_n - \frac{16^{n}}{12} = 4\left (c_{n-1} - \frac{16^{n-1}}{12}\right),\forall n\in\mathbb N^*$
$\Rightarrow c_n = \frac{4.16^{n-1}}{3} - \frac{4^{n-1}}{3},\forall n\in\mathbb N^*$.
- perfectstrong yêu thích
1 người đang xem chủ đề
0 thành viên, 1 khách, 0 thành viên ẩn danh