Chủ đề này có 7 trả lời

[Nobodyv3]

1/ Có bao nhiêu số tự nhiên có 8 chữ số mà các chữ số này xuất hiện ít nhất 2 lần.
2/ Có bao nhiêu tập con của $\left\{ 1,2,3,...,300 \right \}$ có tổng các phần tử là bội số của 3.
3/ Có bao nhiêu tập con 6 phần tử của $\left\{ 0,1,2,3,...,9\right \}$ có tổng các phần tử là bội số của 3.
Em thích những bài như thế này, nhưng không biết đã post chưa!

[chanhquocnghiem]

2/ Có bao nhiêu tập con của $\left\{ 1,2,3,...,300 \right \}$ có tổng các phần tử là bội số của 3.

Gọi $A=\left \{ 3,6,9,...,300 \right \}$ ; $B=\left \{ 1,4,7,...,298 \right \}$ ; $C=\left \{ 2,5,8,...,299 \right \}$

Một tập con thỏa mãn điều kiện đề bài sẽ gồm $m$ phần tử thuộc $A$, $3n+q$ phần tử thuộc $B$ và $3p+q$ phần tử thuộc $C$

($0\leqslant m\leqslant 100$ ; $0\leqslant n,p\leqslant 33$ ; $0\leqslant q\leqslant 2$)

$\textbf{TH1}$ ($q=0$)

+ Chọn $m$ phần tử thuộc $A$ : $2^{100}$ cách.

+ Chọn $3n$ phần tử thuộc $B$ : $C_{100}^0+C_{100}^3+C_{100}^6+...+C_{100}^{99}=\frac{2^{100}-1}{3}$ cách

+ Chọn $3p$ phần tử thuộc $C$ : $C_{100}^0+C_{100}^3+C_{100}^6+...+C_{100}^{99}=\frac{2^{100}-1}{3}$ cách

$\textbf{TH2}$ ($q=1$)

+ Chọn $m$ phần tử thuộc $A$ : $2^{100}$ cách.

+ Chọn $3n+1$ phần tử thuộc $B$ : $C_{100}^1+C_{100}^4+C_{100}^7+...+C_{100}^{100}=\frac{2^{100}-1}{3}$ cách

+ Chọn $3p+1$ phần tử thuộc $C$ : $C_{100}^1+C_{100}^4+C_{100}^7+...+C_{100}^{100}=\frac{2^{100}-1}{3}$ cách

$\textbf{TH3}$ ($q=2$)

+ Chọn $m$ phần tử thuộc $A$ : $2^{100}$ cách.

+ Chọn $3n+2$ phần tử thuộc $B$ : $C_{100}^2+C_{100}^5+C_{100}^8+...+C_{100}^{98}=\frac{2^{100}+2}{3}$ cách

+ Chọn $3p+2$ phần tử thuộc $C$ : $C_{100}^2+C_{100}^5+C_{100}^8+...+C_{100}^{98}=\frac{2^{100}+2}{3}$ cách

 

Số tập con thỏa mãn yêu cầu đề bài là :

$2^{100}\left [ 2\left ( \frac{2^{100}-1}{3} \right )^2+\left ( \frac{2^{100}+2}{3} \right )^2 \right ]=2^{100}\left ( \frac{2^{200}+2}{3} \right )$.

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi chanhquocnghiem: 16-12-2022 - 22:59

[chanhquocnghiem]

3/ Có bao nhiêu tập con 6 phần tử của $\left\{ 0,1,2,3,...,9\right \}$ có tổng các phần tử là bội số của 3.

Đặt $A=\left \{ 0,3,6,9 \right \}$ ; $B=\left \{ 1,4,7 \right \}$ ; $C=\left \{ 2,5,8 \right \}$.

$\textbf{TH1}$ (Có $1$ tập không đóng góp phần tử nào, $2$ tập còn lại, mỗi tập đóng góp $3$ phần tử)

Có $C_4^3C_3^3+C_4^3C_3^3+C_3^3C_3^3=9$ tập con.

$\textbf{TH2}$ (Cả $3$ tập đều có đóng góp phần tử)

Có $C_4^4C_3^1C_3^1+C_4^2C_3^2C_3^2=63$ tập con.

Đáp án là $9+63=72$ tập con thỏa mãn.
 

[chanhquocnghiem]

1/ Có bao nhiêu số tự nhiên có 8 chữ số mà các chữ số này xuất hiện ít nhất 2 lần.

$\textbf{TH1}$ (chỉ có $1$ loại chữ số, tức là $8$ chữ số giống nhau) : $9$ số.

$\textbf{TH2}$ (có $2$ loại chữ số)

Có $(C_9^1C_8^2C_8^1+C_9^1C_7^1+C_9^1C_7^5)+(C_9^1C_8^3C_8^1+C_9^1C_7^2+C_9^1C_7^4)+(C_9^2C_8^4+C_9^1C_7^3)=9639$

$\textbf{TH3}$ (có $3$ loại chữ số)

Có $(C_9^1C_8^4C_8^2C_4^2+C_7^4C_9^2C_4^2+C_7^2C_9^1C_6^2C_8^1)+(C_9^1C_8^2C_8^2C_6^3+C_7^2C_9^2C_6^3+C_7^3C_9^1C_5^2C_8^1)=317520$

$\textbf{TH4}$ (có $4$ loại chữ số)

Có $C_9^4C_8^2C_6^2C_4^2+C_7^2C_9^3C_6^2C_4^2=476280$

Vậy số số tự nhiên thỏa mãn yêu cầu đề bài là $9+9639+317520+476280=803448$.
 

[Nobodyv3]

2/Hàm sinh cho tổng các phần tử của 1 tập con là :
$f(x)=(x+1)(x^2+1)(x^3+1)...(x^{300}+1)$ trong đó hệ số của $x^k$ là số tập con có tổng các phần tử là $k$.
Gọi $\omega $ là một căn bậc 3 nguyên thủy của đơn vị thì ta có $\omega ^3=1$ và $(\omega +1)(\omega ^2+1)=1$. Nhận thấy :
$f(1)=2^{300}\\
f(\omega) =(\omega +1)(\omega ^2+1)(\omega ^3+1)...(\omega ^{300}+1)=2^{100}\\
f(\omega^2) =2^{100}$
Do đó đáp án là :
$\frac {f(1)+f(\omega) +f(\omega ^2)}{3}=\boldsymbol {\frac {2^{300}+2^{101}}{3}}$

[Nobodyv3]

3/ Ta có hàm sinh 2 biến như sau:
$$f(x,y)=(1+y)(1+xy)(1+x^2y)...(1+x^9y)$$
trong đó số mũ của $x$ là tổng các phần tử và số mũ của $y$ là số phần tử trong tập con.
Gọi $\omega $ là một căn bậc 3 nguyên thủy của đơn vị thì ta có hàm sinh $g(y)=\frac {f(1,y)+f(\omega, y)+f(\omega ^2,y)}{3}$.
Ta thấy :
$f(1,y)=(1+y)^{10}\\
f(\omega, y)=(1+y)(1+\omega y)(1+\omega ^2y)...(1+\omega ^9y)=(1+y)^4(1+\omega y)^3(1+\omega ^2y)^3\\
f(\omega^2, y)=(1+y)(1+\omega^2 y)(1+\omega ^4y)...(1+\omega ^{18}y)=(1+y)^4(1+\omega y)^3(1+\omega ^2y)^3$
Do đó :
$g(y)=\frac {(1+y)^{10}+2(1+y)^4(1+\omega y)^3(1+\omega ^2y)^3}{3}=\frac {(1+y)^{10}+2(1+y)(1+y^3)^3}{3}$ trong đó hệ số của $y^k$ là số tập con $k$ phần tử có tổng các phần tử là bội số của 3. Như vậy đáp án là hệ số của $y^6$ và bằng
$\frac {\binom {10}{6}+2.\binom {3}{2}}{3}=\frac {210+6}{3}=\boldsymbol {72}$

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi Nobodyv3: 17-12-2022 - 14:10

[Nobodyv3]

1/ Hàm sinh cho số các số 8 chữ số kể cả chữ số 0 đứng đầu :
$f(x)=\left (1+ \frac {x^2}{2!}+\frac {x^3}{3!}+ \frac {x^4}{4!}+ \frac {x^5}{5!}+ \frac {x^6}{6!}+ \frac {x^7}{7!}+ \frac {x^8}{8!} \right )^{10}\\
\Longrightarrow 8!\left[x^8 \right ]f(x)=892720$ Vì các chữ số có vai trò như nhau nên số các số 8 chữ số thỏa yêu cầu là $\frac {9}{10}\cdot 892720=\boldsymbol {803448}$

[Nobodyv3]

1/....hoặc là ta tính tiếp :
Hàm sinh cho số các số 8 chữ số có chữ số 0 đứng đầu :
$g(x)=\left (x+ \frac {x^2}{2!}+\frac {x^3}{3!}+ \frac {x^4}{4!}+ \frac {x^5}{5!}+ \frac {x^6}{6!}+\frac {x^7}{7!} \right )  \left (1+ \frac {x^2}{2!}+\frac {x^3}{3!}+ \frac {x^4}{4!}+ \frac {x^5}{5!}+ \frac {x^6}{6!} \right )^{9}\\
\Longrightarrow 7!\left[x^7 \right ]g(x)=89272$ Số các số thỏa yêu cầu là :
$892720-89272=\boldsymbol {803448}$