1/ Các bạn tham khảo bài giải của anh @chanhquocnghiem tại
https://diendantoanh...hành-tích-4-số/
Ngoài ra ta cũng có thể áp dụng bổ đề Burnside để giải như sau:
Đặt $S=\left \{ (a,b,c,d)\mid abcd=10^5,1\leq a\leq b\leq c\leq d \right \}$ ta đi tính số phần tử của $S$. Ta có :
$abcd=10^5=2^5.5^5\Rightarrow a=2^{x_1}5^{y_1};b=2^{x_2}5^{y_2};c=2^{x_3}5^{y_3};d=2^{x_4}5^{y_4};x_1+x_2+x_3+x_4=5;y_1+y_2+y_3+y_4=5$
Theo bổ đề Burnside, ta xét các TH:
TH1: $(a)(b)(c)(d) $:
$\begin {cases}
x_1+x_2+x_3+x_4=5\\
y_1+y_2+y_3+y_4=5\\
x_i,y_i\geq 0
\end{cases}\Rightarrow \text { số nghiệm là} \: \binom{8}{5}^2=56^2$
TH2: $(ab)(c)(d): \Rightarrow a=b\Rightarrow x_1=x_2, y_1=y_2$:
$\begin {cases}
2x_2+x_3+x_4=5\\
2y_2+y_3+y_4=5\\
x_i,y_i\geq 0
\end{cases}\Rightarrow \text { số nghiệm là}\: 12\cdot12=12^2$
TH3:$(abc)(d):\Rightarrow a=b=c\Rightarrow x_1=x_2=x_3, y_1=y_2=y_3$:
$\begin {cases}
3x_3+x_4=5\\
3y_3+y_4=5\\
x_i,y_i\geq 0
\end{cases}\Rightarrow \text { số nghiệm là}\: 2\cdot2=2^2$
TH4:$(ab)(cd):\Rightarrow a=b $ và $c=d\Rightarrow x_1=x_2, y_1=y_2$ và $x_3=x_4, y_3=y_4$:
$\begin {cases}
2x_2+2x_4=5\\
2y_2+2y_4=5\\
x_i,y_i\geq 0
\end{cases}\Rightarrow \text { số nghiệm là}\: 0\cdot0=0$
TH5:$(abcd):\Rightarrow a=b=c=d\Rightarrow x_1=x_2=x_3=x_4, y_1=y_2=y_3=y_4$:
$\begin {cases}
4x_4=5\\
4y_4=5\\
x_i,y_i\geq 0
\end{cases}\Rightarrow \text { số nghiệm là} \: 0\cdot0=0$
Theo bổ đề Burnside ta có số cách viết thỏa yêu cầu là :
$\left | S \right |=\frac{1}{24}\left ( 56^2+6\cdot12^2+8\cdot2^2+3\cdot0+6\cdot0 \right )=\boldsymbol {168} $
Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi Nobodyv3: 17-12-2022 - 21:56