Chủ đề này có 4 trả lời

[Matthew James]

Với $x,y,z>0$ thỏa mãn $z=(x-2y)(y-2x)$. Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức

$F=\frac{x}{y+z}+\frac{y}{x+z}+\frac{x^3+y^3}{z}$

[perfectstrong]

Bạn có chắc đây là một bài toán số học không?

[Matthew James]

Bạn có chắc đây là một bài toán số học không?

Em đăng nhầm ạ   Đây là bài toán bất đẳng thức ạ   

[Matthew James]

$z=(x-2y)(x+2y)=5xy-2(x^2+y^2)\leq 5xy-4xy=xy$

$x^3+y^3=(x+y)(x^2-xy+y^2)\geq xy(x+y)\geq z(x+y)$

$\Rightarrow \frac{x^3+y^3}{z}\geq x+y$

$F=\frac{x^2}{xy+xz}+\frac{y^2}{xy+yz}+\frac{x^3+y^3}{z}\geq \frac{(x+y)^2}{2xy+z(x+y)}+\frac{x+y}{1}$

$\geq \frac{(x+y)^2}{(x+y)^2+z(x+y)}+x+y=\frac{(x+y)}{x+y+z}+x+y$

Mà $z\leq xy\leq \frac{(x+y)^2}{4}$

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi Matthew James: 23-12-2022 - 17:46

[perfectstrong]

Bạn có chắc đề đúng không?

Với $\varepsilon > 0$ bất kỳ thì $(x,y,z)=(\varepsilon,\varepsilon,\varepsilon^2)$ thỏa đề và \[F = 2\left( {\frac{1}{{1 + \varepsilon }} + \varepsilon } \right)\]

Dễ thấy $F \ge 2$ và $F \rightarrow 2$ khi $\varepsilon \rightarrow 0^+$.

Có điều $F=2 \Leftrightarrow \varepsilon = 0$: trái với điều kiện ban đầu của $x,y,z$. Liệu có tồn tại bộ $(x,y,z)$ nào khác để $F=2$ không? Nếu không thì $F$ không có GTNN, chỉ có $\inf$.