Cho tam giác $ABC$ có đường tròn nội tiếp $(I)$ tiếp xúc với $AB$, $AC$ tại $E$, $F$. $EF$ cắt $BC$ tại $S$; tiếp tuyến tại $E$, $F$ của $(AEF)$ cắt nhau tại $T$. Chứng minh rằng: Đường tròn đường kính $ST$ trực giao với đường tròn $Euler$ của tam giác $IBC$
Chứng minh rằng: Đường tròn đường kính $ST$ trực giao với đường tròn $Euler$ của tam giác $IBC$
#1
Đã gửi 19-12-2022 - 20:41
#2
Đã gửi 19-12-2022 - 22:03
Gọi $D$ là tiếp điểm của $(I)$ trên $BC$. $M$ là trung điểm $BC$.
$BI,CI$ cắt $EF$ tại $X,Y$. Theo tính chất quen thuộc, ta thấy $X,Y\in (M;MB)$.
Do đó $(DMXY)$ là đường tròn Euler của $\Delta IBC$.
Tiếp tuyến tại $X,Y$ của $(M)$ cắt nhau tại $H$. Bằng biến đổi góc, ta chứng minh được $HX\parallel TF; HY\parallel TE$.
$DI$ cắt $EF$ tại $J$.
Có $\angle IDX = \angle ICX = \angle IBY - \angle IDY\Rightarrow DI$ là phân giác $\angle XDY$
$\Rightarrow \frac{JX}{JY} = \frac{DX}{DY} = \frac{AC}{AB}$.
Mà $\frac{JF}{JE} = \frac{\sin \widehat{JIF}}{\sin \widehat{JIE}} = \frac{\sin \widehat{ABC}}{\sin\widehat{ACB}}$
Nên ${JX}{JY} = \frac{JF}{JE}\Rightarrow \frac{JX}{XY} = \frac{JF}{FE}\Rightarrow \frac{JX}{JF} = \frac{XY}{FE} =\frac{HX}{TF}$
$\Rightarrow H,J,T$ thẳng hàng.
Dễ thấy $BY,CX,DJ$ đồng quy nên $(SJ,XY) = (SD,CB) = -1$.
Suy ra $J,S$ liên hợp với nhau qua $(DXY)$. Lại có $S$ nằm trên đường đối cực của $H$ nên $HJ$ là đường đối cực của $S$.
Mà $T\in HJ$ nên $S,T$ liên hợp với nhau qua $(DXY)$, tức ta có điều phải chứng minh.
- Huutoan2k7Hue yêu thích
#3
Đã gửi 20-12-2022 - 12:08
Taiwan TST 2017
- Huutoan2k7Hue yêu thích
Trong cuộc sống không có gì là đẳng thức , tất cả đều là bất đẳng thức
$\text{LOVE}(\text{KT}) S_a (b - c)^2 + S_b (c - a)^2 + S_c (a - b)^2 \geqslant 0\forall S_a,S_b,S_c\geqslant 0$
#4
Đã gửi 20-12-2022 - 23:38
Taiwan TST 2017
Taiwan TST 2015.
#5
Đã gửi 21-12-2022 - 22:03
Gọi $D$ là tiếp điểm của $(I)$ trên $BC$. $M$ là trung điểm $BC$.
$BI,CI$ cắt $EF$ tại $X,Y$. Theo tính chất quen thuộc, ta thấy $X,Y\in (M;MB)$.
Do đó $(DMXY)$ là đường tròn Euler của $\Delta IBC$.
Tiếp tuyến tại $X,Y$ của $(M)$ cắt nhau tại $H$. Bằng biến đổi góc, ta chứng minh được $HX\parallel TF; HY\parallel TE$.
$DI$ cắt $EF$ tại $J$.
Có $\angle IDX = \angle ICX = \angle IBY - \angle IDY\Rightarrow DI$ là phân giác $\angle XDY$
$\Rightarrow \frac{JX}{JY} = \frac{DX}{DY} = \frac{AC}{AB}$.
Mà $\frac{JF}{JE} = \frac{\sin \widehat{JIF}}{\sin \widehat{JIE}} = \frac{\sin \widehat{ABC}}{\sin\widehat{ACB}}$
Nên ${JX}{JY} = \frac{JF}{JE}\Rightarrow \frac{JX}{XY} = \frac{JF}{FE}\Rightarrow \frac{JX}{JF} = \frac{XY}{FE} =\frac{HX}{TF}$
$\Rightarrow H,J,T$ thẳng hàng.
Dễ thấy $BY,CX,DJ$ đồng quy nên $(SJ,XY) = (SD,CB) = -1$.
Suy ra $J,S$ liên hợp với nhau qua $(DXY)$. Lại có $S$ nằm trên đường đối cực của $H$ nên $HJ$ là đường đối cực của $S$.
Mà $T\in HJ$ nên $S,T$ liên hợp với nhau qua $(DXY)$, tức ta có điều phải chứng minh.
Làm sao để gửi ảnh lên bn nhỉ
T đã thử vài lần rồi nhưng mà ko được.
1 người đang xem chủ đề
0 thành viên, 1 khách, 0 thành viên ẩn danh