Đến nội dung

Hình ảnh

Chứng minh rằng: Đường tròn đường kính $ST$ trực giao với đường tròn $Euler$ của tam giác $IBC$


  • Please log in to reply
Chủ đề này có 4 trả lời

#1
Huutoan2k7Hue

Huutoan2k7Hue

    Lính mới

  • Thành viên mới
  • 4 Bài viết

Cho tam giác $ABC$ có đường tròn nội tiếp $(I)$ tiếp xúc với $AB$, $AC$ tại $E$, $F$. $EF$ cắt $BC$ tại $S$; tiếp tuyến tại $E$, $F$ của $(AEF)$ cắt nhau tại $T$. Chứng minh rằng: Đường tròn đường kính $ST$ trực giao với đường tròn $Euler$ của tam giác $IBC$



#2
Hoang72

Hoang72

    Thiếu úy

  • Điều hành viên OLYMPIC
  • 539 Bài viết

Gọi $D$ là tiếp điểm của $(I)$ trên $BC$. $M$ là trung điểm $BC$.

$BI,CI$ cắt $EF$ tại $X,Y$. Theo tính chất quen thuộc, ta thấy $X,Y\in (M;MB)$.

Do đó $(DMXY)$ là đường tròn Euler của $\Delta IBC$.

Tiếp tuyến tại $X,Y$ của $(M)$ cắt nhau tại $H$. Bằng biến đổi góc, ta chứng minh được $HX\parallel TF; HY\parallel TE$.

$DI$ cắt $EF$ tại $J$.

Có $\angle IDX = \angle ICX = \angle IBY - \angle IDY\Rightarrow DI$ là phân giác $\angle XDY$

$\Rightarrow \frac{JX}{JY} = \frac{DX}{DY} = \frac{AC}{AB}$.

Mà $\frac{JF}{JE} = \frac{\sin \widehat{JIF}}{\sin \widehat{JIE}} = \frac{\sin \widehat{ABC}}{\sin\widehat{ACB}}$

Nên ${JX}{JY} = \frac{JF}{JE}\Rightarrow \frac{JX}{XY} = \frac{JF}{FE}\Rightarrow \frac{JX}{JF} = \frac{XY}{FE} =\frac{HX}{TF}$

$\Rightarrow H,J,T$ thẳng hàng.

Dễ thấy $BY,CX,DJ$ đồng quy nên $(SJ,XY) = (SD,CB) = -1$.

Suy ra $J,S$ liên hợp với nhau qua $(DXY)$. Lại có $S$ nằm trên đường đối cực của $H$ nên $HJ$ là đường đối cực của $S$.

Mà $T\in HJ$ nên $S,T$ liên hợp với nhau qua $(DXY)$, tức ta có điều phải chứng minh.

Hình gửi kèm

  • Untitled.png


#3
KietLW9

KietLW9

    Đại úy

  • Điều hành viên THCS
  • 1737 Bài viết

Taiwan TST 2017


Trong cuộc sống không có gì là đẳng thức , tất cả đều là bất đẳng thức  :ukliam2:   :ukliam2: 

 

 

$\text{LOVE}(\text{KT}) S_a (b - c)^2 + S_b (c - a)^2 + S_c (a - b)^2 \geqslant 0\forall S_a,S_b,S_c\geqslant 0$

 

 

 


#4
hovutenha

hovutenha

    Hạ sĩ

  • Thành viên
  • 85 Bài viết

Taiwan TST 2017

Taiwan TST 2015.



#5
Ruka

Ruka

    Trung sĩ

  • Thành viên
  • 153 Bài viết

Gọi $D$ là tiếp điểm của $(I)$ trên $BC$. $M$ là trung điểm $BC$.

$BI,CI$ cắt $EF$ tại $X,Y$. Theo tính chất quen thuộc, ta thấy $X,Y\in (M;MB)$.

Do đó $(DMXY)$ là đường tròn Euler của $\Delta IBC$.

Tiếp tuyến tại $X,Y$ của $(M)$ cắt nhau tại $H$. Bằng biến đổi góc, ta chứng minh được $HX\parallel TF; HY\parallel TE$.

$DI$ cắt $EF$ tại $J$.

Có $\angle IDX = \angle ICX = \angle IBY - \angle IDY\Rightarrow DI$ là phân giác $\angle XDY$

$\Rightarrow \frac{JX}{JY} = \frac{DX}{DY} = \frac{AC}{AB}$.

Mà $\frac{JF}{JE} = \frac{\sin \widehat{JIF}}{\sin \widehat{JIE}} = \frac{\sin \widehat{ABC}}{\sin\widehat{ACB}}$

Nên ${JX}{JY} = \frac{JF}{JE}\Rightarrow \frac{JX}{XY} = \frac{JF}{FE}\Rightarrow \frac{JX}{JF} = \frac{XY}{FE} =\frac{HX}{TF}$

$\Rightarrow H,J,T$ thẳng hàng.

Dễ thấy $BY,CX,DJ$ đồng quy nên $(SJ,XY) = (SD,CB) = -1$.

Suy ra $J,S$ liên hợp với nhau qua $(DXY)$. Lại có $S$ nằm trên đường đối cực của $H$ nên $HJ$ là đường đối cực của $S$.

Mà $T\in HJ$ nên $S,T$ liên hợp với nhau qua $(DXY)$, tức ta có điều phải chứng minh.

Làm sao để gửi ảnh lên bn nhỉ

T đã thử vài lần rồi nhưng mà ko được.






2 người đang xem chủ đề

0 thành viên, 2 khách, 0 thành viên ẩn danh