Đến nội dung


Chú ý

Nếu các bạn đăng kí thành viên mà không nhận được email kích hoạt thì hãy kiểm tra thùng thư rác (spam). Nếu không biết cách truy cập vào thùng thư rác thì các bạn chịu khó Google hoặc đăng câu hỏi vào mục Hướng dẫn - Trợ giúp để thành viên khác có thể hỗ trợ.


Hình ảnh

Chứng minh rằng: $\frac{1}{a^2}+\frac{1}{b^2}+\frac{1}{c^2} \geq a^2+b^2+c^2$


  • Please log in to reply
Chủ đề này có 9 trả lời

#1 DBS

DBS

    Trung sĩ

  • Thành viên
  • 138 Bài viết
  • Giới tính:Nam

Đã gửi 23-06-2020 - 21:00

Cho các số dương $a,b,c$ thoả mãn $a+b+c=3$.

Chứng minh rằng: $\frac{1}{a^2}+\frac{1}{b^2}+\frac{1}{c^2} \geq a^2+b^2+c^2$



#2 skynguyen2005

skynguyen2005

    Hạ sĩ

  • Thành viên
  • 82 Bài viết
  • Giới tính:Nam
  • Đến từ:Thái Bình
  • Sở thích:Sơn Tùng M-TP (Sky)

Đã gửi 23-06-2020 - 21:39

Cho các số dương $a,b,c$ thoả mãn $a+b+c=3$.

Chứng minh rằng: $\frac{1}{a^2}+\frac{1}{b^2}+\frac{1}{c^2} \geq a^2+b^2+c^2$

chuyển tất cả sang vế trái ta được $\Sigma \frac{1-a^{4}}{a^{2}} =\Sigma \frac{(1-a^{2})(1+a^{2})}{a^{2}}\geq \Sigma \frac{2a(1-a^{2})}{a^{2}}=\Sigma \frac{2(1-a^{2})}{a}=\Sigma (\frac{2}{a}-2a)=\Sigma \frac{2}{a}-2(a+b+c)=\Sigma 2(\frac{1}{a})-6\geq 2(\frac{9}{a+b+c})-6 =2.\frac{9}{3}-2.3=0 (đpcm)$



#3 Khoa Linh

Khoa Linh

    Thiếu úy

  • Thành viên
  • 606 Bài viết
  • Giới tính:Nam
  • Đến từ:Khóa 36, THPT chuyên Hùng Vương, Phú Thọ
  • Sở thích:geometry, inequality

Đã gửi 24-06-2020 - 14:57

chuyển tất cả sang vế trái ta được $\Sigma \frac{1-a^{4}}{a^{2}} =\Sigma \frac{(1-a^{2})(1+a^{2})}{a^{2}}\geq \Sigma \frac{2a(1-a^{2})}{a^{2}}=\Sigma \frac{2(1-a^{2})}{a}=\Sigma (\frac{2}{a}-2a)=\Sigma \frac{2}{a}-2(a+b+c)=\Sigma 2(\frac{1}{a})-6\geq 2(\frac{9}{a+b+c})-6 =2.\frac{9}{3}-2.3=0 (đpcm)$

Bạn làm chưa  chính xác. Lí do là đoạn $(1-a^2)(1+a^2) \geq  2a(1-a^2)$ không đúng nếu $1-a^2<0$. 

Lời giải của mình như sau: 

Ta sẽ chứng minh bất đẳng thức mạnh hơn là $\sum \dfrac{1}{ab}\geq a^2+b^2+c^2$ hay $abc(a^2+b^2+c^2) \leq 3$. 

Ta có $3(a+b+c)abc(a^2+b^2+c^2) \le (ab+bc+ca)^2(a^2+b^2+c^2) \le \left ( \frac{(a+b+c)^2}{3} \right )^3 = 27$, từ đó suy ra đpcm. 


BLACKPINK IN YOUR AREA 


#4 skynguyen2005

skynguyen2005

    Hạ sĩ

  • Thành viên
  • 82 Bài viết
  • Giới tính:Nam
  • Đến từ:Thái Bình
  • Sở thích:Sơn Tùng M-TP (Sky)

Đã gửi 24-06-2020 - 19:50

Bạn làm chưa  chính xác. Lí do là đoạn $(1-a^2)(1+a^2) \geq  2a(1-a^2)$ không đúng nếu $1-a^2<0$. 

Lời giải của mình như sau: 

Ta sẽ chứng minh bất đẳng thức mạnh hơn là $\sum \dfrac{1}{ab}\geq a^2+b^2+c^2$ hay $abc(a^2+b^2+c^2) \leq 3$. 

Ta có $3(a+b+c)abc(a^2+b^2+c^2) \le (ab+bc+ca)^2(a^2+b^2+c^2) \le \left ( \frac{(a+b+c)^2}{3} \right )^3 = 27$, từ đó suy ra đpcm. 

cảm ơn bạn nha , mình hơi hấp tấp :))



#5 skynguyen2005

skynguyen2005

    Hạ sĩ

  • Thành viên
  • 82 Bài viết
  • Giới tính:Nam
  • Đến từ:Thái Bình
  • Sở thích:Sơn Tùng M-TP (Sky)

Đã gửi 24-06-2020 - 19:58

chuyển tất cả sang vế trái ta được $\Sigma \frac{1-a^{4}}{a^{2}} =\Sigma \frac{(1-a^{2})(1+a^{2})}{a^{2}}\geq \Sigma \frac{2a(1-a^{2})}{a^{2}}=\Sigma \frac{2(1-a^{2})}{a}=\Sigma (\frac{2}{a}-2a)=\Sigma \frac{2}{a}-2(a+b+c)=\Sigma 2(\frac{1}{a})-6\geq 2(\frac{9}{a+b+c})-6 =2.\frac{9}{3}-2.3=0 (đpcm)$

ta cần chứng  minh thêm (1-a2) $\geq 0$

 thật vậy với $1-a^{2}< 0 \Rightarrow a^{2}>1 \Rightarrow \frac{1}{a^{2}}<1 \Rightarrow$   vế trái <3 mà a2 >1 nên vế phải >3       dẫn đến vô lí 

Vậy 1-a2 >0 

chứng minh tiếp như trên là OK :)))


Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi skynguyen2005: 24-06-2020 - 19:59


#6 Khoa Linh

Khoa Linh

    Thiếu úy

  • Thành viên
  • 606 Bài viết
  • Giới tính:Nam
  • Đến từ:Khóa 36, THPT chuyên Hùng Vương, Phú Thọ
  • Sở thích:geometry, inequality

Đã gửi 24-06-2020 - 20:16

ta cần chứng  minh thêm (1-a2) $\geq 0$

 thật vậy với $1-a^{2}< 0 \Rightarrow a^{2}>1 \Rightarrow \frac{1}{a^{2}}<1 \Rightarrow$   vế trái <3 mà a2 >1 nên vế phải >3       dẫn đến vô lí 

Vậy 1-a2 >0 

chứng minh tiếp như trên là OK :)))

Ủa đề cho $a+b+c=3$ mà bạn không giả sử gì đã đi chứng minh $1-a^2 \geq 0$ ??
Mà nếu giả sử $a\leq 1$ thì biến $b,c$ bạn định đánh giá như nào ?


BLACKPINK IN YOUR AREA 


#7 skynguyen2005

skynguyen2005

    Hạ sĩ

  • Thành viên
  • 82 Bài viết
  • Giới tính:Nam
  • Đến từ:Thái Bình
  • Sở thích:Sơn Tùng M-TP (Sky)

Đã gửi 24-06-2020 - 20:38

Ủa đề cho $a+b+c=3$ mà bạn không giả sử gì đã đi chứng minh $1-a^2 \geq 0$ ??
Mà nếu giả sử $a\leq 1$ thì biến $b,c$ bạn định đánh giá như nào ?

vậy thì nên làm gì nhỉ hay là làm theo cách này không được ?



#8 DBS

DBS

    Trung sĩ

  • Thành viên
  • 138 Bài viết
  • Giới tính:Nam

Đã gửi 25-06-2020 - 07:16

Bạn làm chưa  chính xác. Lí do là đoạn $(1-a^2)(1+a^2) \geq  2a(1-a^2)$ không đúng nếu $1-a^2<0$. 

Lời giải của mình như sau: 

Ta sẽ chứng minh bất đẳng thức mạnh hơn là $\sum \dfrac{1}{ab}\geq a^2+b^2+c^2$ hay $abc(a^2+b^2+c^2) \leq 3$. 

Ta có $3(a+b+c)abc(a^2+b^2+c^2) \le (ab+bc+ca)^2(a^2+b^2+c^2) \le \left ( \frac{(a+b+c)^2}{3} \right )^3 = 27$, từ đó suy ra đpcm. 

Bạn có thể giải kỹ hơn được ko ạ?



#9 Khoa Linh

Khoa Linh

    Thiếu úy

  • Thành viên
  • 606 Bài viết
  • Giới tính:Nam
  • Đến từ:Khóa 36, THPT chuyên Hùng Vương, Phú Thọ
  • Sở thích:geometry, inequality

Đã gửi 25-06-2020 - 07:47

Bạn có thể giải kỹ hơn được ko ạ?

Bạn cần giải thích chỗ nào ? 

- $\sum \frac{1}{a^2} \geq \sum \frac{1}{ab}$

- $3(a+b+c)abc \leq (ab+bc+ca)^2$ do $3(AB+BC+CA) \leq (A+B+C)^2$


BLACKPINK IN YOUR AREA 


#10 DBS

DBS

    Trung sĩ

  • Thành viên
  • 138 Bài viết
  • Giới tính:Nam

Đã gửi 25-06-2020 - 17:23

Bạn cần giải thích chỗ nào ? 

- $\sum \frac{1}{a^2} \geq \sum \frac{1}{ab}$

- $3(a+b+c)abc \leq (ab+bc+ca)^2$ do $3(AB+BC+CA) \leq (A+B+C)^2$

Mình cần giải thích chỗ tại sao lại đi chứng minh $abc(a^2+b^2+c^2) \leq 3$


Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi DBS: 25-06-2020 - 17:24





1 người đang xem chủ đề

0 thành viên, 1 khách, 0 thành viên ẩn danh