Chủ đề này có 4 trả lời

[Nobodyv3]

1/ Có bao nhiêu số gồm 12 chữ số chia hết cho 37 mà có thể viết dưới dạng $\sum_{k=0}^{11}a_k\cdot10^k$ trong đó $a_k\in \left \{ 0,1 \right \}$ với $ 0\leq k \leq11.$
2/ Tung con xúc xắc 5 lần, hỏi xác suất để tổng các các số là 24. (Noel)

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi Nobodyv3: 24-12-2022 - 22:58

[chanhquocnghiem]

1/ Có bao nhiêu số gồm 12 chữ số chia hết cho 37 mà có thể viết dưới dạng $\sum_{k=0}^{11}a_k\cdot10^k$ trong đó $a_k\in \left \{ 0,1 \right \}$ với $ 0\leq k \leq11.$

$a_{11}$ có thể bằng $0$ được không ? Nếu $a_{11}=0$ thì có thể xem đó là số có $12$ chữ số không ?
 

[Nobodyv3]

$a_{11}$ có thể bằng $0$ được không ? Nếu $a_{11}=0$ thì có thể xem đó là số có $12$ chữ số không ?

Em nghĩ là theo ràng buộc của đề bài thì $a_{11}=1.$

[chanhquocnghiem]

1/ Có bao nhiêu số gồm 12 chữ số chia hết cho 37 mà có thể viết dưới dạng $\sum_{k=0}^{11}a_k\cdot10^k$ trong đó $a_k\in \left \{ 0,1 \right \}$ với $ 0\leq k \leq11.$
2/ Tung con xúc xắc 5 lần, hỏi xác suất để tổng các các số là 24. (Noel)

1) Ta gọi nhóm gồm $3$ chữ số $1$ liên tiếp là một bộ ba $111$ (bộ ba $111$ đầu tiên luôn ở ngoài cùng bên trái, các bộ ba $111$ có thể xếp cạnh nhau hoặc cách nhau $1$ hoặc nhiều chữ số $0$.Ngoài các bộ ba $111$, những chữ số còn lại đều là $0$)
$\textbf{TH1}$ (chỉ có $1$ bộ ba $111$) : Có $1$ số (đó là số $111.10^9$)
$\textbf{TH2}$ (có $2$ bộ ba $111$) : Có $C_7^1$ số (2 bộ ba $111$ có thể xếp cạnh nhau hoặc cách nhau $1$ đến $6$ chữ số $0$)
$\textbf{TH3}$ (có $3$ bộ ba $111$) : Có $C_5^2=10$ số.
$\textbf{TH4}$ (có $4$ bộ ba $111$) : Có $C_3^3=1$ số.
Vậy có tất cả $1+C_7^1+C_5^2+C_3^3=19$ số thỏa mãn yêu cầu.

2) Ta có hàm sinh $f(x)=(x+x^2+...+x^6)^5=x^5\left ( \frac{1-x^6}{1-x} \right )^5=x^5(1-5x^6+10x^{12}-10x^{18}+...)\sum_{k=0}^{\infty}C_{k+4}^4x^k$
Xác suất cần tính là $\frac{\left [ x^{24} \right ]f(x)}{f(1)}=\frac{C_{23}^4-5C_{17}^4+10C_{11}^4-10C_5^4}{6^5}=\frac{205}{7776}$

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi chanhquocnghiem: 25-12-2022 - 17:55

[Nobodyv3]

1/ Để giải bài toán này có lẽ ta cần phải vận dụng bổ đề và qui tắc sau:
Nếu gọi  $N=\overline{a_1a_2a_3b_1b_2b_3c_1c_2c_3d_1d_2d_3} $ là số có 12 chữ số chia hết cho 37 thì ta chấp nhận (mà không chứng minh)  bổ đề sau:
Số $N$ chia hết cho 37 khi và chỉ khi $\overline{a_1a_2a_3}+ \overline{b_1b_2b_3}+\overline{c_1c_2c_3}+\overline {d_1d_2d_3}$ chia hết cho 37.
Và, theo qui tắc chia hết cho 111 thì một số nguyên dương $\overline{d_1d_2d_3...d_n} $ chia hết cho 111 khi:
$S=\sum_{k\geq 0}d_{3k+1}=\sum_{k\geq 0}d_{3k+2}=\sum_{k\geq 0}d_{3k+3}$
Trở lại bài toán, vì $a_k\in \left \{ 0,1 \right \}$ và $a_1=1$ nên ta có các giá trị $S=1,2,3,4$ tức là ta phải xét 4 trường hợp để tính số cách bố trí các chữ số 1 và 0 như sau :
- $S=1\quad \Longrightarrow\binom{3}{0}\binom{4}{1}^2=16$ cách
- $S=2\quad \Longrightarrow\binom{3}{1}\binom{4}{2}^2=108$ cách
- $S=3\quad \Longrightarrow\binom{3}{2}\binom{4}{3}^2=48$ cách
- $S=4\quad \Longrightarrow\binom{3}{3}\binom{4}{4}^2=1$ cách
Vậy số các số thỏa yêu cầu là :
$16+108+48+1=\boldsymbol {173}$