Đến nội dung


Chú ý

Nếu các bạn đăng kí thành viên mà không nhận được email kích hoạt thì hãy kiểm tra thùng thư rác (spam). Nếu không biết cách truy cập vào thùng thư rác thì các bạn chịu khó Google hoặc đăng câu hỏi vào mục Hướng dẫn - Trợ giúp để thành viên khác có thể hỗ trợ.


Hình ảnh

Tìm GTNN của $M = \left ( \frac{xy}{x^{2}+ y^{2}}+1 \right )\left ( \frac{x^{2}+y^{2}}{xy}+1 \right )$


  • Please log in to reply
Chủ đề này có 2 trả lời

#1 Nevel

Nevel

    Lính mới

  • Thành viên mới
  • 1 Bài viết

Đã gửi 28-06-2020 - 10:19

Cho x, y >0. Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức: $M = \left ( \frac{xy}{x^{2}+ y^{2}}+1 \right )\left ( \frac{x^{2}+y^{2}}{xy}+1 \right )$


Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi spirit1234: 29-06-2020 - 05:11


#2 pro team

pro team

    Binh nhất

  • Thành viên mới
  • 37 Bài viết

Đã gửi 28-06-2020 - 13:30

Mình xin giải bài này

*Giải:

Ta có:A=$(\frac{x^{2}+y^{2}}{xy}+1)(\frac{xy}{x^{2}+y^{2}}+1)=1+\frac{x^{2}+y^{2}}{xy}+\frac{xy}{x^{2}+y^{2}}+1$

Mặt khác:$\frac{x^{2}+y^{2}}{xy}+\frac{xy}{x^{2}+y^{2}}=\frac{(x-y)^{2}}{xy}+2+\frac{(x-y)^{2}}{2(x^{2}+y^{2})}+\frac{1}{2}=(x-y)^{2}(\frac{1}{xy}+\frac{1}{2(x^{2}+y^{2})})$

Mà áp dụng bất đẳng thức cô si với hai số dương ta có:$x^{2}+y^{2}\geq 2xy\Rightarrow \frac{1}{2(x^{2}+y^{2})}\leq \frac{1}{4xy}\Rightarrow \frac{1}{xy}-\frac{1}{2(x^{2}+y^{2})}\geq \frac{1}{xy}-\frac{1}{4xy}=\frac{3}{4xy}$

$\Rightarrow A\geq \frac{3(x-y)^{2}}{4xy}+4,5\geq 4,5$(do $\frac{3(x-y)^{2}}{4xy}\geq 0$)

Dấu bằng xảy ra khi x=y



#3 Pi9

Pi9

    Binh nhất

  • Thành viên mới
  • 23 Bài viết
  • Giới tính:Nam
  • Đến từ:$\boxed{ Hai Duong City }$
  • Sở thích:$\textbf{ Algebra }$,$ \textbf{ Geometry }$

Đã gửi 01-07-2020 - 04:42

Cách 2:

Đặt $\frac{xy}{x^2+y^2}=a \rightarrow a \leq \frac{1}{2}$

Khi đó $M=(a+1)(\frac{1}{a}+1)=a+\frac{1}{a}+2=a+\frac{1}{4a}+\frac{3}{4a}+2\geq 2\sqrt{\frac{a}{4a}}+\frac{3}{4.\frac{1}{2}}+2=\frac{9}{2}$

Dấu "=" xảy ra khi $a=\frac{1}{2} \Leftrightarrow x=y$


Hoa nở không màu...





0 người đang xem chủ đề

0 thành viên, 0 khách, 0 thành viên ẩn danh