Đến nội dung

Hình ảnh

$g:\mathbb{R}\rightarrow \mathbb{R}$ s/c: $g(x-2y-2g(y))=5g(x)$

- - - - - phương trình hàm thực đơn ánh toàn ánh song ánh ánh xạ

  • Please log in to reply
Chủ đề này có 1 trả lời

#1
Explorer

Explorer

    Trung sĩ

  • Thành viên
  • 155 Bài viết

Tìm $g:\mathbb{R}\rightarrow \mathbb{R}$ thỏa mãn:

$g(x-2y-2g(y))=5g(x)$ với mọi x,y thực



#2
Hoang72

Hoang72

    Thiếu úy

  • Điều hành viên OLYMPIC
  • 539 Bài viết

Đặt $A= \{2x+2g(x)|x\in\mathbb R\}$.

 $g(x-y)=5g(x),\forall x\in\mathbb R, y\in A$. $(*)$

Xét 2 trường hợp:

$\bullet$ $\exists m\in\mathbb R: \{m, -m\} \subset A$: Thay $y=-m$ vào $(*)$ ta có: $g(x+m) = 5g(x),\forall x\in\mathbb R$.

Thay $x$ thành $x+m$ và $y=m$ vào $(*)$ ta có: $g(x) = 5g(x+m),\forall x\in\mathbb R$.

Do đó $g(x) = 0 ,\forall x\in\mathbb R$. Thử lại ta thấy thoả mãn.

$\bullet$ $\forall m\in A, -m\not\in A$: Ta có $2g(x-y) + 2(x-y)\in A\Rightarrow 10g(x) + 2x - 2y\in A,\forall x\in\mathbb R,y\in A$.

Cho $x=y$ ta có $10g(y)\in A,\forall y\in\mathbb A$. $(1)$

Cũng có $10g(x) + 2x - 2y\in A,\forall x\in\mathbb R, y\in A$

$\Rightarrow 10g(x) + 2x - 2(10g(x) + 2x - 2y)\in A,\forall x\in\mathbb R,y\in A$

$\Rightarrow 4y - 2x - 10g(x)\in A,\forall x\in\mathbb R,y\in A$.

$\Rightarrow 4(2x + 2g(x)) - 2x - 10g(x)\in A,\forall x\in\mathbb R$

$\Rightarrow 6x - 2g(x)\in A,\forall x\in\mathbb R$.

Do đó $6(x-y) - 2g(x-y)\in A\Rightarrow 6(x-y) - 10g(x)\in A,\forall x\in\mathbb R,y\in A$. $(**)$

Cho $x=y$ ta có $-10g(y)\in A,\forall y\in A$. $(2)$

Từ $(1),(2)$ ta có $10g(y)$ và $-10g(y)$ đều thuộc $A$, vô lí với điều kiện của trường hợp này.

Vậy $g(x)= 0,\forall x\in\mathbb R$ là hàm duy nhất thoả mãn phương trình hàm đã cho.







Được gắn nhãn với một hoặc nhiều trong số những từ khóa sau: phương trình hàm, thực, đơn ánh, toàn ánh, song ánh, ánh xạ

1 người đang xem chủ đề

0 thành viên, 1 khách, 0 thành viên ẩn danh