Cho dãy số Fibonacci $\left\{\begin{matrix} F_1=F_2=1 & \\ F_n=F_{n-1}+F_{n-2} & \end{matrix}\right.$ Chứng minh rằng: $F_m |F_n \Leftrightarrow m|n$
$F_m |F_n \Leftrightarrow m|n$
#1
Đã gửi 10-01-2023 - 17:57
#2
Đã gửi 11-01-2023 - 03:08
Đề thiếu, cần thêm giả thiết $m,n \ge 2$ (với $m = 2, n = 1$ thì $F_m | F_n$ nhưng $m \not | n$).
Bước 1. Chứng minh rằng $\gcd(F_m, F_{m-1}) = 1$ (quy nạp theo $m$).
Bước 2. Chứng minh rằng $F_{m+k} = F_{k+1}F_m + F_k F_{m-1}$ với mọi $k \ge 1$ (quy nạp theo $k$).
Bước 3. Chứng minh mệnh đề đã cho bằng quy nạp theo $n$.
Xét $n \le m$. Nếu $n < m$ thì $0 < F_n < F_m$ nên $F_m \not | F_n$. Nếu $n = m$ thì hiển nhiên $F_m | F_n$.
Do đó với $n \le m$ thì khẳng định "$F_m | F_n \Leftrightarrow m | n$" đúng.
Xét $n > m$, dùng kết quả Bước 2 cho $k = n - m$, ta được $F_n = F_{n-m+1} F_m + F_{n-m}F_{m-1}$. Do đó $$F_m | F_n \Leftrightarrow F_m | F_{n-m}F_{m-1} \Leftrightarrow F_m | F_{n-m}$$ (dùng kết quả Bước 1). Giờ áp dụng giả thiết quy nạp cho số $n - m$: $$F_m | F_n \Leftrightarrow F_m | F_{n-m} \Leftrightarrow m | n-m \Leftrightarrow m | n.$$
Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi nmlinh16: 11-01-2023 - 03:11
- Hoang72, Toan0710 và Moon Loves Math thích
"Wir müssen wissen, wir werden wissen." - David Hilbert
1 người đang xem chủ đề
0 thành viên, 1 khách, 0 thành viên ẩn danh