Đến nội dung


Chú ý

Nếu các bạn đăng kí thành viên mà không nhận được email kích hoạt thì hãy kiểm tra thùng thư rác (spam). Nếu không biết cách truy cập vào thùng thư rác thì các bạn chịu khó Google hoặc đăng câu hỏi vào mục Hướng dẫn - Trợ giúp để thành viên khác có thể hỗ trợ.


Hình ảnh
- - - - -

Chứng minh rằng $\lim \sqrt{n}.((a_n-b_n)^2+(b_n-c_n)^2+(c_n-a_n)^2)=0$

giới hạn dãy số

  • Please log in to reply
Chủ đề này có 1 trả lời

#1 ngphong2510

ngphong2510

    Lính mới

  • Thành viên mới
  • 1 Bài viết

Đã gửi 03-07-2020 - 16:31

Cho dãy số $(a_n), (b_n), (c_n)$ thỏa mãn diều kiện: 
i) $a_1=_1, b_1=c_1=0$.
ii) $a_n=a_{n-1}+\frac{c_{n-1}}{n}; b_n=b_{n-1}+\frac{a_{n-1}​}{n}; c_n=c_{n-1}+\frac{b_{n-1}}{n}.$

Chứng minh rằng $\lim \sqrt{n}.((a_n-b_n)^2+(b_n-c_n)^2+(c_n-a_n)^2)=0$

 

Nhờ mọi người giúp em câu này với ạ. 


Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi E. Galois: 03-07-2020 - 17:16


#2 Arthur Pendragon

Arthur Pendragon

    Thượng sĩ

  • Thành viên
  • 231 Bài viết
  • Giới tính:Nam
  • Đến từ:Hải Phòng, Việt Nam
  • Sở thích:Toán học, Harry Potter và Da LAB.

Đã gửi 27-07-2020 - 23:26

Đặt $a_n-b_n=x_n,b_n-c_n=y_n,c_n-a_n=z_n$, Khi đó từ giả thiết suy ra:

 

 

$x_n=x_{n-1}+\frac{z_n}{n} \Rightarrow x_n^2=x_{n-1}^2+\frac{2x_{n-1}z_{n-1}}{n}+\frac{z_{n-1}^2}{n^2} $

Biến đổi tương tự rồi công các đẳng thức lại với nhau, ta được:

$x_n^2+y_n^2+z_n^2=(x_{n-1}^2+y_{n-1}^2+z_{n-1}^2)+\frac{2(x_{n-1}y_{n-1}+y_{n-1}z_{n-1}+z_{n-1}x_{n-1})}{n}+\frac{x_{n-1}^2+y_{n-1}^2+z_{n-1}^2}{n^2}$

Mặt khác, để ý rằng $0=(x_{n-1}+y_{n-1}+z_{n-1})^2=x_{n-1}^2+y_{n-1}^2+z_{n-1}^2+2(x_{n-1}y_{n-1}+y_{n-1}z_{n-1}+z_{n-1}x_{n-1}) \Rightarrow 2(x_{n-1}y_{n-1}+y_{n-1}z_{n-1}+z_{n-1}x_{n-1})=-(x_{n-1}^2+y_{n-1}^2+z_{n-1}^2)$. Từ đó suy ra $x_n^2+y_n^2+z_n^2=x_{n-1}^2+y_{n-1}^2+z_{n-1}^2-\frac{x_{n-1}^2+y_{n-1}^2+z_{n-1}^2}{n}+\frac{x_{n-1}^2+y_{n-1}^2+z_{n-1}^2}{n^2}=\frac{n^2-n+1}{n^2}(x_{n-1}^2+y_{n-1}^2+z_{n-1}^2)$


Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi Arthur Pendragon: 27-07-2020 - 23:27

"After all this time?"

"Always.."      






Được gắn nhãn với một hoặc nhiều trong số những từ khóa sau: giới hạn, dãy số

1 người đang xem chủ đề

0 thành viên, 1 khách, 0 thành viên ẩn danh