Đến nội dung

Hình ảnh

cho tam giác ABC nhọn nội tiếp (O), Xét lục giác lồi MNPQRS ,.. CMR MN+PQ+RS <= NP+QR+SM

- - - - -

  • Please log in to reply
Chủ đề này có 1 trả lời

#1
Sangnguyen3

Sangnguyen3

    Thượng sĩ

  • Thành viên
  • 222 Bài viết

Cho $\Delta ABC$ nội tiếp $(O)$. Xét lục giác lồi $MNPQRS$ có $M,N$ thuộc $BC$ , $P,Q$ thuộc $CA$ , $R,S$ thuộc $AB$ sao cho $\angle ROQ=\angle BAC;\angle MOS=\angle CBA;\angle NOP=\angle ACB$

Chứng minh : $MN+PQ+RS\leq NP+QR+SM$



#2
Hoang72

Hoang72

    Thiếu úy

  • Điều hành viên OLYMPIC
  • 539 Bài viết
P636.png
Lấy $X$ đối xứng với $B$ qua $OM$; $Y$ đối xứng với $B$ qua $OS$.
Khi đó dễ thấy $OX = OB = OY$ nên $X,Y\in (O)$.
Đồng thời, ta có $\widehat{XOY} = \widehat{XOB} + \widehat{YOB}=2\widehat{MOB}+2\widehat{SOB} = 2\widehat{SOM}=2\widehat{ABC}=\widehat{AOC}$
$\Rightarrow XY = AC$.
Do đó: $BS+SM+MB = YS + SM + MX \geq XY = AC$
$\Rightarrow BS + SM + BM\geq CA$.
Tương tự: $\begin{cases} CN+CP+NP \geq AB \\ AR+AQ+RQ \geq BC \end{cases}$.
Cộng vế với vế ba bất đẳng thức trên lại ta được:
$BS+SM+BM+CN+CP+NP+AR+AQ+RQ\geq CA+AB+BC$
$\Rightarrow SM + NP + RQ\geq (CA-CP - AQ) + (AB-AR - BS) + (BC - BM - CN)$
$\Rightarrow SM+NP+RQ\geq PQ+RS+MN$.
Ta có điều phải chứng minh.





1 người đang xem chủ đề

0 thành viên, 1 khách, 0 thành viên ẩn danh