Đến nội dung

Hình ảnh

$f^2(x)+f^2(y) \leq 2f(xy), \forall x,y \in \mathbb{R}$

- - - - -

  • Please log in to reply
Chủ đề này có 1 trả lời

#1
Math04

Math04

    Trung sĩ

  • Thành viên
  • 120 Bài viết

Tìm $f:\mathbb{R}\rightarrow \mathbb{Z}$ thỏa:

$f^2(x)+f^2(y) \leq 2f(xy), \forall x,y \in \mathbb{R}$.



#2
Hoang72

Hoang72

    Thiếu úy

  • Điều hành viên OLYMPIC
  • 539 Bài viết

Thay $x=y$ ta có $f^2(x)\leq f(x^2),\forall x\in\mathbb R$.

Do đó $f(x)\geq 0,\forall x\in\mathbb R$.

Thay $y=1$ ta có $\left[f(x) - 1\right]^2 \leq 1 - f^2(1),\forall x\in\mathbb R$. $(*)$

Suy ra $f$ bị chặn. 

Giả sử tồn tại $x_0$ sao cho $|f(x_0)|> 1$.

Bằng quy nạp, dễ dàng chứng minh: $f\left(x_0^{2^n}\right) \geq f^{2^n}(x_0),\forall n\in\mathbb N^*$.

Suy ra $\lim_{n\to +\infty} f\left(x_0^{2^n}\right) = +\infty$, vô lí vì $f$ bị chặn.

Do đó với mọi $x\in\mathbb R$ thì $f(x)\in \{0; 1; -1\}$

$\Rightarrow f(1)\in \{0; 1\}$ (Do $f(1)\geq 0$).

Nếu $f(1) = 1$ thì từ $(*)$ ta có $f(x) = 1,\forall x\in\mathbb R$.

Nếu $f(1) = 0$ thì thay $y = \frac{1}{x}$ ta có $f^2(x) + f^2\left(\frac{1}{x}\right)\leq 0\Rightarrow f(x) = 0,\forall x\in\mathbb R$.

Vậy...


Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi Hoang72: 02-01-2023 - 20:44





2 người đang xem chủ đề

0 thành viên, 2 khách, 0 thành viên ẩn danh