Chủ đề này có 4 trả lời

[Thegooobs]

Theo sách giáo khoa thì $\int f(x)dx$ là kí hiệu cho họ nguyện hàm của $f(x)$ chứng không nói gì về $dx$ cả.

Nhưng trong các bài toán thì em thấy $dx$ nhưng đang nhân với $f(x)$ VD: $\int \frac{dx}{\sqrt{x+1}}$.

Anh chị có thể giải thích $dx$ nó thật sự là kí hiệu hay là đang nhân với $f(x)$ trong $\int f(x)dx$ ạ ?

Em cảm ơn.

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi Thegooobs: 02-01-2023 - 20:35

[ILikeMath22042001]

Đang nhân nhé, chỗ đó có thể hiểu là 1.dx, hay f(x) = 1/... nha

[bangbang1412]

Theo sách giáo khoa thì $\int f(x)dx$ là kí hiệu cho họ nguyện hàm của $f(x)$ chứng không nói gì về $dx$ cả.

Nhưng trong các bài toán thì em thấy $dx$ nhưng đang nhân với $f(x)$ VD: $\int \frac{dx}{\sqrt{x+1}}$.

Anh chị có thể giải thích $dx$ nó thật sự là kí hiệu hay là đang nhân với $f(x)$ trong $\int f(x)dx$ ạ ?

Em cảm ơn.

Kiến thức trong SGK thực chất chưa cho phép giải thích bản chất của cách viết $f(x)dx$ và $\int f(x)dx$. Kí hiệu $dx$ là một ví dụ của cái gọi là $1$-dạng vi phân.

 

Hãy lấy ví dụ một không gian (bạn chưa cần hiểu không gian là gì) $M$ mà tại mỗi điểm của $x \in M$ ta có thể lấy một không gian tiếp xúc (tangent space) $T_x M$, một phần tử (hay vector) của $T_xM$ gọi là một vector tiếp xúc với $M$ tại $x$. Hợp của các không gian tiếp xúc $\bigcup_{x \in X} T_xM$ gọi phân thớ tiếp xúc của không gian $M$.

 

 

Ví dụ ở trên mặt phẳng $M = \mathbb{R}^2$, thì mỗi vector tiếp xúc tại một điểm $(a,b)$ chỉ là một vector có điểm xuất phát là $(a,b)$ và tất cả các mặt phẳng tiếp xúc đều trùng nhau, chỉ khác điểm xuất phát.

 

Khi đó một $1$-dạng vi phân $\alpha$ là một cách gán cho mỗi điểm $x \in M$ một ánh xạ tuyến tính (bạn cũng chưa cần biết nó là gì, cứ hiểu là một dạng hàm)

 

$$\alpha: TM \longrightarrow \mathbb{R} \Rightarrow \alpha_x = \alpha_{\mid T_x M}: T_x M \longrightarrow \mathbb{R}$$

 

Nói cách khác, một $1$-dạng vi phân là một cái gì đó mà ta có thể tính giá trị trên các vector tiếp xúc. Kí hiệu $f(x)dx$ là một $1$-dạng vi phân trên $\mathbb{R}$ (nói là kí hiệu, vì còn tuỳ vào miền xác định của hàm $f$). Đặc biệt hơn hàm $f(x)$ có thể xem là một $0$-dạng vi phân, và ta có thể nhân $0$-dạng với $1$-dạng. Nói cách khác, viết $f(x).dx$ là nhân $0$-dạng với $1$-dạng. Còn để hiểu $dx$ bạn cần xem nó như hàm

$$dx: T_{x_0}\mathbb{R} \longrightarrow \mathbb{R}$$

gán mỗi vector tiếp xúc với $x_0 \in \mathbb{R}$ với một giá trị. Cụ thể hơn nếu ta chọn một hướng dương cho $\mathbb{R}$ thì một vector tiếp xúc tại $x_0$ chỉ là một điểm bên phải hoặc bên trái $x_0$ trên $\mathbb{R}$, khi đó $dx$ xác định duy nhất bởi điều kiện $dx(\mathbf{v})=1$ với $\mathbf{v}$ là vector đơn vị xuất phát từ $x$ theo hướng dương. Tất cả các vector tiếp xúc khác có dạng $a\mathbf{v}$ với $a \in \mathbb{R}$ và ta có $dx(a\mathbf{v})=a$.

 

Tổng quát hơn, trong $\mathbb{R}^n$ thì $1$-dạng vi phân sẽ có dạng

$$f_1(x_1,...,x_n)dx_1 + \cdots + f_n(x_1,...,x_n)dx_n,$$

và tổng quát hơn nữa ta có $k$ dạng vi phân

$$\sum_{1 \leq i_1 < \cdots < i_k \leq n} f_{i_1,...i_k}(x_1,...,x_n)dx_{i_1}\cdots dx_{i_k}.$$

Với không gian $n$-chiều $M$ thì ta có thể tích phân các $n$-dạng vi phân (tức là các dạng với nhiều số biến nhất). Do đó ví dụ trong $\mathbb{R}^1$ bạn có tích phân $\int_a^b f(x)dx$ trong khi trong $\mathbb{R}^2$ bạn lại tích phân $\int_{(a,b)\times(c,d)} f(x,y)dxdy$.

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi bangbang1412: 03-01-2023 - 04:51

[Nobodyv3]

Theo sự hiểu biết hạn hẹp của mình thì có nhiều cách giải thích về $dx$:
- Giải thích về cực tiểu: Chúng ta có thể coi tích phân là giới hạn của một tổng: Diện tích bên dưới đồ thị của hàm (dương) $ f$ có thể được tính gần đúng bằng tổng $  \sum_{x}f(x)\Delta x$  và trong giới hạn đó, chúng ta làm cho $\Delta x$ nhỏ tùy ý và gọi là $dx$ ( một lượng "vô hạn").
- Giải thích nâng cao: Trong giải tích vectơ, $dx$ có nghĩa là một dạng vi phân (đại khái là một thứ giống như một mẩu đường cong cực nhỏ).
Nhưng theo mình, với "level phổ thông " hiện giờ, thì giải thích sau là phù hợp nhất :
- Giải thích thực tế :$dx$ cho biết rằng chúng ta đang lấy tích phân trên biến $ x$.  Nếu lấy tích phân trên biến $ t$, chúng ta sẽ viết thay bằng $dt$  v.v.

[Isidia]

Mình không dám nói gì hết vì kiến thức Toán căn bản của mình rất tệ.

 

Nhưng theo mình biết, $\frac{dy}{dx}$ thời Leibnitz là tỷ lệ đại lượng cực bé (infinitement petit) $y$ trên đại lượng cực bé $x$. Không rõ trong Toán học hiện đại, nó có ý nghĩa gì mới.

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi Isidia: 29-01-2023 - 09:33