Cho x,y là các số thực. Tìm GTNN của biểu thức:
A= $\sqrt{(x-1)^{2}+y^{2}}+\sqrt{(x+1)^{2}+y^2}+\mid y-2\mid$
Cho x,y là các số thực. Tìm GTNN của biểu thức:
A= $\sqrt{(x-1)^{2}+y^{2}}+\sqrt{(x+1)^{2}+y^2}+\mid y-2\mid$
Ta có: $A\geq \sqrt{(1-x+x+1)^{2}+(y+y)^{2})}+\left | y-2 \right |=2\sqrt{y^{2}+1}+\left | y-2 \right |$
Xét hàm $f(y)=2\sqrt{y^{2}+1}+\left | y-2 \right |$
+)TH1: $y\geq 2$ ; có: $f(y)=2\sqrt{y^{2}+1}+y-2$
$\rightarrow f'(y)=\frac{2y}{\sqrt{y^{2}+1}}+1>0$ $\rightarrow$ Hàm đồng biến trên $ [2;+\infty ]$
$\Rightarrow A\geq f(2)=2\sqrt{5}$
Dấu "=" <=> $y=2;x=0$
+)TH2: y<2; xét hàm tương tự tìm ra min $= f(\frac{1}{\sqrt{3}})=2+\sqrt{3}$ ( nhỏ hơn kết quả TH1) -> TH2 nhận min
Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi Le Tuan Canhh: 04-01-2023 - 19:16
Dư Hấu
Ta có: $A\geq \sqrt{(1-x+x+1)^{2}+(y+y)^{2})}+\left | y-2 \right |=2\sqrt{y^{2}+1}+\left | y-2 \right |$
Xét hàm $f(y)=2\sqrt{y^{2}+1}+\left | y-2 \right |$
+)TH1: $y\geq 2$ ; có: $f(y)=2\sqrt{y^{2}+1}+y-2$
$\rightarrow f'(y)=\frac{2y}{\sqrt{y^{2}+1}}+1>0$ $\rightarrow$ Hàm đồng biến trên $ [2;+\infty ]$
$\Rightarrow A\geq f(2)=2\sqrt{5}$
Dấu "=" <=> $y=2;x=0$
+)TH2: y<2; xét hàm tương tự tìm ra min $= f(\frac{1}{\sqrt{3}})=2+\sqrt{3}$ ( nhỏ hơn kết quả TH1) -> TH2 nhận min
THCS đã học khảo sát hàm số đâu? Một hướng giải khả thi cho THCS là sử dụng hình học.
Xét hệ trục tọa độ $Oxy$ với các điểm $E(1;0);F(-1;0);M(x;y)$. Vẽ đường thẳng $(d):y=2$ và gọi $H$ là hình chiếu của $M$ trên $d$.
Tổng đã cho tương đương với $ME+MF+MH$.
Các bước chính để giải như sau:
1. Nếu $M$ có hoành độ âm $(y < 0)$ thì lấy điểm $M'$ đối xứng với $M$ qua $Ox$. Dễ thấy $M'E=ME, M'F=MF$ và $M'H < MH$ nên $A(M') < A(M)$. Vậy để $A$ đạt GTNN thì $y \ge 0$.
2. Nếu $M$ nằm phía trên $d$, tức là $y \ge 2$ thì dễ thấy $HE\le ME$ và $HF \le MF$, nên $A(M) \ge A(H)$. Vậy để $A$ đạt GTNN thì $y < 2$.
3. Xét $K(0,y)$ và $L(0,2)$ thì $MKLH$ là hình chữ nhật và $KL=MH$. Ta chỉ cần so sánh $ME+MF$ và $KE+KF$.
Lấy $G$ là điểm đối xứng của $E$ qua $KM$ thì dễ thấy $K$ là trung điểm của $GF$. Ta lại có $ME=MG$ và $KE=KG$.
Nên $ME + MF = MG + MF \ge FG = FK + KG = KF + KE \Rightarrow A(M) \ge A(K)$. Dấu = xảy ra khi và chỉ khi $M \equiv K$, tức là $M$ nằm trên trục $Oy$ ($x=0$).
4. Bài toán quy về tìm GTNN của $KE+KF+KL$. Đây là điểm Torricelli trong $\Delta EFL$. Với các tọa độ đã cho của $\Delta EFL$ thì điểm Torricelli $K'$ cần tìm có tọa độ $\left( {0,\frac{1}{\sqrt 3}}\right)$.
0 thành viên, 2 khách, 0 thành viên ẩn danh