Đến nội dung

Hình ảnh

A= $\sqrt{(x-1)^{2}+y^{2}}+\sqrt{(x+1)^{2}+y^2}+\mid y-2\mid$


  • Please log in to reply
Chủ đề này có 4 trả lời

#1
toanhoc9

toanhoc9

    Binh nhất

  • Thành viên mới
  • 45 Bài viết

Cho x,y là các số thực. Tìm GTNN của biểu thức:

 A= $\sqrt{(x-1)^{2}+y^{2}}+\sqrt{(x+1)^{2}+y^2}+\mid y-2\mid$



#2
Le Tuan Canhh

Le Tuan Canhh

    Thượng sĩ

  • Thành viên
  • 226 Bài viết

Ta có: $A\geq \sqrt{(1-x+x+1)^{2}+(y+y)^{2})}+\left | y-2 \right |=2\sqrt{y^{2}+1}+\left | y-2 \right |$

Xét hàm $f(y)=2\sqrt{y^{2}+1}+\left | y-2 \right |$

+)TH1: $y\geq 2$ ; có: $f(y)=2\sqrt{y^{2}+1}+y-2$

 $\rightarrow f'(y)=\frac{2y}{\sqrt{y^{2}+1}}+1>0$ $\rightarrow$ Hàm đồng biến trên $ [2;+\infty ]$

$\Rightarrow A\geq f(2)=2\sqrt{5}$

Dấu "=" <=> $y=2;x=0$

+)TH2: y<2; xét hàm tương tự tìm ra  min $= f(\frac{1}{\sqrt{3}})=2+\sqrt{3}$ ( nhỏ hơn kết quả TH1) -> TH2 nhận min 


Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi Le Tuan Canhh: 04-01-2023 - 19:16

Dư :unsure: Hấu   


#3
Moon Loves Math

Moon Loves Math

    Binh nhất

  • Thành viên mới
  • 42 Bài viết

Hình như có chút nhầm lẫn thì phải, $2+\sqrt{3}<2\sqrt{5}$ mà bạn



#4
perfectstrong

perfectstrong

    $LOVE(x)|_{x =\alpha}^\Omega=+\infty$

  • Quản lý Toán Ứng dụng
  • 4991 Bài viết

Ta có: $A\geq \sqrt{(1-x+x+1)^{2}+(y+y)^{2})}+\left | y-2 \right |=2\sqrt{y^{2}+1}+\left | y-2 \right |$

Xét hàm $f(y)=2\sqrt{y^{2}+1}+\left | y-2 \right |$

+)TH1: $y\geq 2$ ; có: $f(y)=2\sqrt{y^{2}+1}+y-2$

 $\rightarrow f'(y)=\frac{2y}{\sqrt{y^{2}+1}}+1>0$ $\rightarrow$ Hàm đồng biến trên $ [2;+\infty ]$

$\Rightarrow A\geq f(2)=2\sqrt{5}$

Dấu "=" <=> $y=2;x=0$

+)TH2: y<2; xét hàm tương tự tìm ra  min $= f(\frac{1}{\sqrt{3}})=2+\sqrt{3}$ ( nhỏ hơn kết quả TH1) -> TH2 nhận min 

THCS đã học khảo sát hàm số đâu? Một hướng giải khả thi cho THCS là sử dụng hình học.

Xét hệ trục tọa độ $Oxy$ với các điểm $E(1;0);F(-1;0);M(x;y)$. Vẽ đường thẳng $(d):y=2$ và gọi $H$ là hình chiếu của $M$ trên $d$.

Tổng đã cho tương đương với $ME+MF+MH$.

2023-01-04_15h12_46.png


Luôn yêu để sống, luôn sống để học toán, luôn học toán để yêu!!! :D
$$\text{LOVE}\left( x \right)|_{x = \alpha}^\Omega = + \infty $$
I'm still there everywhere.

#5
perfectstrong

perfectstrong

    $LOVE(x)|_{x =\alpha}^\Omega=+\infty$

  • Quản lý Toán Ứng dụng
  • 4991 Bài viết

Các bước chính để giải như sau:

1. Nếu $M$ có hoành độ âm $(y < 0)$ thì lấy điểm $M'$ đối xứng với $M$ qua $Ox$. Dễ thấy $M'E=ME, M'F=MF$ và $M'H < MH$ nên $A(M') < A(M)$. Vậy để $A$ đạt GTNN thì $y \ge 0$.

2. Nếu $M$ nằm phía trên $d$, tức là $y \ge 2$ thì dễ thấy $HE\le ME$ và $HF \le MF$, nên $A(M) \ge A(H)$. Vậy để $A$ đạt GTNN thì $y < 2$.

3. Xét $K(0,y)$ và $L(0,2)$ thì $MKLH$ là hình chữ nhật và $KL=MH$. Ta chỉ cần so sánh $ME+MF$ và $KE+KF$.

Lấy $G$ là điểm đối xứng của $E$ qua $KM$ thì dễ thấy $K$ là trung điểm của $GF$. Ta lại có $ME=MG$ và $KE=KG$.

Nên $ME + MF = MG + MF \ge FG = FK + KG = KF + KE \Rightarrow A(M) \ge A(K)$. Dấu = xảy ra khi và chỉ khi $M \equiv K$, tức là $M$ nằm trên trục $Oy$ ($x=0$).

2023-01-04_22h27_28.png

4. Bài toán quy về tìm GTNN của $KE+KF+KL$. Đây là điểm Torricelli trong $\Delta EFL$. Với các tọa độ đã cho của $\Delta EFL$ thì điểm Torricelli $K'$ cần tìm có tọa độ $\left( {0,\frac{1}{\sqrt 3}}\right)$.


Luôn yêu để sống, luôn sống để học toán, luôn học toán để yêu!!! :D
$$\text{LOVE}\left( x \right)|_{x = \alpha}^\Omega = + \infty $$
I'm still there everywhere.




2 người đang xem chủ đề

0 thành viên, 2 khách, 0 thành viên ẩn danh