Đến nội dung

Hình ảnh

$\prod {\left( {1 + \tan \frac{A}{4}} \right)} = 2\left( {1 + \prod {\tan \frac{A}{4}} } \right)$

- - - - -

  • Please log in to reply
Chủ đề này có 1 trả lời

#1
oibanoi

oibanoi

    Lính mới

  • Thành viên mới
  • 9 Bài viết

Gọi A, B, C là ba góc của tam giác ABC.

1) Chứng minh rằng: $\left ( 1+\tan\frac{A}{4} \right )\left ( 1+\tan\frac{B}{4} \right )\left ( 1+\tan\frac{C}{4} \right )=2\left ( 1+\tan\frac{A}{4}\tan\frac{B}{4}\tan\frac{C}{4} \right )$

2) Tìm GTLN của biểu thức $P = \left ( 1+\tan\frac{A}{4} \right )\left ( 1+\tan\frac{B}{4} \right )\left ( 1+\tan\frac{C}{4} \right )$


Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi oibanoi: 06-01-2023 - 20:08
Tiêu đề


#2
Hoang72

Hoang72

    Thiếu úy

  • Điều hành viên OLYMPIC
  • 539 Bài viết

1) Có lẽ là $\widehat{A}+\widehat{B}+\widehat{C}=\pi$:

Đặt $(\omega_1,\omega_2,\omega_3) = \left(\frac{A}{4},\frac{B}{4}, \frac{C}{4}\right)$ thì $\omega_1+\omega_2+\omega_3=\frac{\pi}{4}$.

Ta có: $\tan(\omega_1 + \omega_2) = \tan\left(\frac{\pi}{4} - \omega_3\right)$

$\frac{\tan \omega_1 + \tan\omega_2}{1-\tan \omega_1\tan\omega_2} = \frac{1 - \tan\omega_3}{1+\tan\omega_3}$

$\Rightarrow \sum_{i<j}\tan\omega_i\omega_j + \sum \tan\omega_i = 1 + \tan\omega_1\tan\omega_2\tan\omega_3$

$\Rightarrow (1+\tan\omega_1)(1+\tan\omega_2)(1+\tan\omega_3) = 2(1+\tan\omega_1\tan\omega_2\tan\omega_3)$.

2) Đặt $(x,y,z) = (\tan \omega_1, \tan\omega_2, \tan\omega_3)$.

Ta có $xyz + 1 = xy + yz +zx + x+y+z\geq 3\sqrt[3]{(xyz)^2} + 3\sqrt[3]{xyz}$

$\Rightarrow \sqrt[3]{xyz}\leq 2-\sqrt{3}$ (Do $\sqrt[3]{xyz} < 1$)

$\Rightarrow P = 2\left(1 + xyz\right) \leq 6(5-\sqrt{3})$.

Vậy $\max P = 6(5-\sqrt{3})$, xảy ra khi $A=B=C=\frac{\pi}{6}$.






1 người đang xem chủ đề

0 thành viên, 1 khách, 0 thành viên ẩn danh