Đến nội dung

Hình ảnh

$x^{4n}+\sqrt{x^{2n}+2022}=2022$

- - - - -

  • Please log in to reply
Chủ đề này có 1 trả lời

#1
hieuisme

hieuisme

    Lính mới

  • Thành viên mới
  • 3 Bài viết

Giải phương trình:
$x^{4n}+\sqrt{x^{2n}+2022}=2022 (n \in \mathbb N*)$


Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi perfectstrong: 04-01-2023 - 14:06
LaTeX


#2
Moon Loves Math

Moon Loves Math

    Binh nhất

  • Thành viên mới
  • 42 Bài viết

Đặt $x^{2n}=a \quad (a\geq0)$. Phương trình trở thành: $a^2+\sqrt{a+2022}=2022 \quad (\ast)$.

Đặt $b=\sqrt{a+2022} \quad (b\geq0)$. Ta có hệ:

$\begin{cases} a^2+b=2022 \\ b^2-a=2022 \end{cases}$

Trừ vế theo vế hai phương trình và rút gọn, thu được: $(a+b)(a-b+1)=0$.

Nếu $a=-b$ thì $a^2=b^2 \Leftrightarrow a^2=a+2022$.

Giải pt ta được: $\left[ \begin{array}{ll} a_1 = \frac{1}{2} - \frac{\sqrt{8089}}{2} &\text{loai do } a\geq0 \\ a_2 = \frac{1}{2} + \frac{\sqrt{8089}}{2} \end{array} \right .$

Thử lại ta thấy $a_2$ không thỏa mãn $(\ast) \quad \Rightarrow$ Trường hợp này không có số $a$ thỏa.

Nếu $a+1=b$ thì ta có: $a^2+2a+1=a+2022 \Leftrightarrow a^2+a-2021=0$.

Giải pt ta được: $\left[ \begin{array}{ll} a_3 = -\frac{1}{2} - \frac{7\sqrt{165}}{2} &\text{loai do } a\geq0 \\ a_4 = -\frac{1}{2} + \frac{7\sqrt{165}}{2} \end{array} \right.$

Thử lại, $a_4$ là nghiệm của $(\ast)$ nên suy ra $x^{2n}=a_4$.

Hay $x=\sqrt[2n]{a_4}$ với $a_4 = -\frac{1}{2} + \frac{7\sqrt{165}}{2}$.






2 người đang xem chủ đề

0 thành viên, 2 khách, 0 thành viên ẩn danh