Tìm tất cả các hàm $f: \mathbb{R}\rightarrow \mathbb{R}$ thỏa mãn:
$f(f(y)f(x+y))+f(xf(x+y))=(x+y)^{2}$
Tìm tất cả các hàm $f: \mathbb{R}\rightarrow \mathbb{R}$ thỏa mãn:
$f(f(y)f(x+y))+f(xf(x+y))=(x+y)^{2}$
Viết lại phương trình hàm đã cho thành: $f(f(y)f(x)) + f((x-y)f(x)) = x^2,\forall x,y\in\mathbb R$.
Kí hiệu $P(x,y)$ là phép thế của phương trình hàm trên.
$P(x,x)\Rightarrow f(f^2(x)) +f(0)=x^2,\forall x\in\mathbb R$.
Do đó với mọi $x,y\in\mathbb R$, $f(x) = f(y)\Leftrightarrow x = \pm y$. $(1)$
Giả sử tồn tại $y_1,y_2$ sao cho $f(y_1)=f(y_2)$.
So sánh $P(x,y_1)$ và $P(x,y_2)$ ta có $f((x-y_1)f(x)) = f((x-y_2)f(x)),\forall x\in\mathbb R$.
Do đó với mọi $x\in\mathbb R$ thì $f(x)(y_1-y_2) = 0$ hoặc $f(x)(2x - y_1 - y_2) = 0$. (Do $(1)$)
Vì $y_1\neq y_2$ nên với mọi $x\neq \frac{y_1+y_2}{2}$ thì $f(x) = 0$.
Điều này rõ ràng là vô li.
Do đó $f$ là đơn ánh.
So sánh $P(x,y)$ và $P(y,x)$, ta có $f((x-y)f(x)) - f((y-x)f(y)) = x^2-y^2,\forall x,y\in\mathbb R$.
Ở đây cho $y=-x$ ta có $f(2xf(x)) - f(-2xf(-x)) = 0,\forall x\in\mathbb R$
$\Rightarrow 2xf(x) = -2xf(-x),\forall x\in\mathbb R\Rightarrow -f(x) = f(-x),\forall x\in\mathbb R\setminus \{0\}$. $(2)$
$P(0,y)\Rightarrow f(f(0)f(y)) + f(-yf(0)) = 0,\forall y\in\mathbb R$.
Giả sử $f(0) \neq 0$. Với mọi $y\neq 0$ thoả $f(y)\neq 0$ ta có $f(-yf(0)) = -f(yf(0))$.
Do đó $f(f(0)f(y)) = f(yf(0)),\forall y\neq 0:f(y)\neq 0$.
Tức với mọi $y\in\mathbb R\setminus\{0\}$ thì $f(y) = y$ hoặc $f(y) = 0$.
Có tối đa một số nhận giá trị của $f$ bằng $0$. Gọi số này là $a$ thì $f(y) = y,\forall y\setminus \{0\}$.
Tuy nhiên $f(-a) = -a\Rightarrow 0=f(a) = a$, vô lí.
Suy ra $f(0) = 0$. Kết hợp với $(2)$ ta có $f$ là hàm lẻ.
$P(x,x-f(x))\Rightarrow f(f(x-f(x))f(x)) + f(f^2(x)) = x^2,\forall x\in\mathbb R$.
Mà từ $P(x,x)$ suy ra $f(f^2(x)) = x^2,\forall x\in\mathbb R$.
Do đó $f(f(x-f(x))f(x)) = 0,\forall x\in\mathbb R\Rightarrow f(x-f(x)) . f(x) = 0,\forall x\in\mathbb R$
$\Rightarrow f(x-f(x)) = 0,\forall x\neq 0\Rightarrow x-f(x) = 0,\forall x\neq 0$.
Vậy $f(x) = x,\forall x\in\mathbb R$.
0 thành viên, 1 khách, 0 thành viên ẩn danh