Chủ đề này có 5 trả lời

[Ruka]

Cho đa giác đều gồm $2018$ đỉnh $A_1A_2 . . . A_{2018}$. Chọn ngẫu nhiên ra $3$ đỉnh trong $2018$ đỉnh của đa giác, tìm xác suất để $3$ đỉnh được chọn là $3$ đỉnh của một tam giác tù.

[Hoang72]

Không gian mẫu $n(\Omega) =\displaystyle\binom{2018}{3}$.

Giả định rằng mỗi cung chắn một dây là một cạnh của tam giác là một cung đơn vị.

Xét $ABC$ là một tam giác tù được chọn ra và có góc $A$ tù, điểm $B$ nằm bên trái $A$ và điểm $C$ nằm bên phải $A$.

Gọi $x$ là số cung đơn vị mà cung $BA$ chứa, $y$ là số cung đơn vị mà cung $CA$ chứa.

Thế thì ta phải có $x,y\in\mathbb N^*$ và $x+y<1009$.

Đặt $z=1009-x-y$ thì $x+y+z=1009$ và $z\in\mathbb N^*$. Theo công thức bài toán chia kẹo Euler, số bộ thoả mãn là $\displaystyle\binom{1008}{2}$.

Với mỗi vị trí của điểm $A$ và một cặp $(x,y)$, ta có một song ánh đến một tam giác tù thoả mãn.

Suy ra số tam giác tù thoả mãn là: $\displaystyle2018\binom{1008}{2}$.

Xác suất để chọn ra $3$ đỉnh là tam giác tù là: $\displaystyle \frac{2018\binom{1008}{2}}{\binom{2018}{3}}$.

[nhungvienkimcuong]

Câu 15 trong file sau trình bày hai cách khác   de KSCL Binh Phu.pdf   816.9K   108 Số lần tải

[Ruka]

@Hoang72 có lẽ $\displaystyle\binom{2018}{3}$ là nói đến $C_{2018}^{3}$ sao ?

 

Mk có 1 cách giải khác nhưng chưa cần dùng đến bài toán chia kẹo Euler

 

Chọn ngẫu nhiên 3 đỉnh của đa giác có $C_{2018}^3$

 

$\large{\to |\Omega| = C_{2018}^3 = \displaystyle\binom{2018}{3}}$

 

Gọi $A$ là biến cố để chọn được $3$ đỉnh là $3$ đỉnh của tam giác tù

 

Giả sử chọn tam giác $ABC$ tù với $\hat{A}$ và $\hat{C}$ nhọn và $\hat{B}$ tù

 

Chọn $1$ đỉnh bất kì làm đỉnh $A$ có $2018$ cách

 

Qua đỉnh vừa chọn, ta kẻ đường kính, chia đa giác làm $2$ phần

 

Để tạo thành tam giác tù thì $B$ và $C$ sẽ cùng nằm về $1$ phía  

 

Số cách chọn $2$ đỉnh trong $1008$ đỉnh còn lại là $C_{2018}^2$(cách)

 

Do vai trò của $A$ và $C$ như nhau nên mỗi tam giác sẽ tính $2$ lần

 

Từ đó, $\large{|A| = 2 . 2018 . C_{2018}^2}$

 

Xác suất cần tìm : $P(A) = \dfrac{2 . 2018 . C_{2018}^2}{C_{2018}^3} = \dfrac{2 . 2018 . \displaystyle\binom{2018}{2}}{\displaystyle\binom{2018}{3}}$

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi Ruka: 09-01-2023 - 23:43

[Ruka]

@Hoang72 có lẽ $\displaystyle\binom{2018}{3}$ là nói đến $C_{2018}^{3}$ sao ?

 

Mk có 1 cách giải khác nhưng chưa cần dùng đến bài toán chia kẹo Euler

 

Chọn ngẫu nhiên 3 đỉnh của đa giác có $C_{2018}^3$

 

$\large{\to |\Omega| = C_{2018}^3 = \displaystyle\binom{2018}{3}}$

 

Gọi $A$ là biến cố để chọn được $3$ đỉnh là $3$ đỉnh của tam giác tù

 

Giả sử chọn tam giác $ABC$ tù với $\hat{A}$ và $\hat{C}$ nhọn và $\hat{B}$ tù

 

Chọn $1$ đỉnh bất kì làm đỉnh $A$ có $2018$ cách

 

Qua đỉnh vừa chọn, ta kẻ đường kính, chia đa giác làm $2$ phần

 

Để tạo thành tam giác tù thì $B$ và $C$ sẽ cùng nằm về $1$ phía  

 

Số cách chọn $2$ đỉnh trong $1008$ đỉnh còn lại là $C_{2018}^2$(cách)

 

Do vai trò của $A$ và $C$ như nhau nên mỗi tam giác sẽ tính $2$ lần

 

Từ đó, $\large{|A| = 2 . 2018 . C_{2018}^2}$

 

Xác suất cần tìm : $P(A) = \dfrac{2 . 2018 . C_{2018}^2}{C_{2018}^3} = \dfrac{2 . 2018 . \displaystyle\binom{2018}{2}}{\displaystyle\binom{2018}{3}}$

 

Nhầm chút: $|A| = 2018.C_{2018}^2$ và $P(A) = \dfrac{3021}{4034}$

[chanhquocnghiem]

Lời giải

Nhầm chút: $|A| = 2018.C_{2018}^2$ và $P(A) = \dfrac{3021}{4034}$

Sửa lại chỗ này nha : $\left | A \right |=2018.C_{1008}^2=P_{1009}^3\Rightarrow P(A)=\frac{P_{1009}^3}{C_{2018}^3}=\frac{6P_{1009}^3}{P_{2018}^3}=\frac{3021}{4034}$

--------------------------------------------------

Tổng quát là : Nếu chọn ngẫu nhiên $3$ đỉnh của một đa giác đều $2n$ đỉnh thì xác suất chúng là $3$ đỉnh của tam giác tù là : $\frac{6P_n^3}{P_{2n}^3}$.
 

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi chanhquocnghiem: 10-03-2023 - 17:09