Đề bài: Cho $A$ là tập hợp các số nguyên không âm không lớn hơn $n$, đôi một phân biệt, thõa mãn tích của $2$ số bất kì thuộc $A$ đều là số chính phương. Hỏi tập $A$ có tối đa bao nhiêu phần tử.
Đề bài: Cho $A$ là tập hợp các số nguyên không âm không lớn hơn $n$, đôi một phân biệt, thõa mãn tích của $2$ số bất kì thuộc $A$ đều là số chính phương. Hỏi tập $A$ có tối đa bao nhiêu phần tử.
Xét $x$ là một phần tử bất kì thuộc $A$. Đặt $x=m^2 . p$, với $m,n\in\mathbb N^*$ và $p$ là một số square-free.
Thế thì $\forall y\in A$, ta có $yp$ là số chính phương.
Mà $p$ là số square-free nên $p\mid y$ và $\frac{y}{p}$ là số chính phương.
Vì $\frac{y}{p} \leq \frac{n}{p}$ nên có tối đa $\left \lfloor \sqrt{\frac{n}{p}}\right\rfloor + 1$ phần tử của $A$ như vậy.
Để được tối đa các phần tử thì $p=1$ và khi đó có $A$ có nhiều nhất $\lfloor \sqrt{n}\rfloor + 1$ phần tử.
Đẳng thức xảy ra khi $A$ là tập hợp các số chính phương không lớn hơn $n$.
Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi Hoang72: 08-01-2023 - 20:09
|
Toán Trung học Cơ sở →
Đại số →
Tổ hợp gây lúBắt đầu bởi huucong, Hôm qua, 21:21 tổ hợp |
|
||
|
Toán Trung học Cơ sở →
Đại số →
Không biết sai ở đâuBắt đầu bởi huucong, Hôm qua, 20:50 tổ hợp |
|
||
Toán Trung học Phổ thông và Thi Đại học →
Đại số →
Tổ hợp - Xác suất và thống kê - Số phức →
Không biết sai ở đâu: Chọn ngẫu nhiên 5 hs từ đội văn nghệ sao cho lớp nào cũng có học sinh được chọn, hỏi có bao nhiêu cáchBắt đầu bởi huucong, Hôm qua, 20:44 tổ hợp |
|
|||
Toán Trung học Cơ sở →
Bất đẳng thức và cực trị →
$3abc+\sum a\sqrt{\frac{b^{4}+c^{4}}{2}} \leq \sum a^{2}(b+c)$Bắt đầu bởi kakachjmz, 28-04-2024 thcs, hsg9, bđt |
|
|||
Toán Trung học Cơ sở →
Bất đẳng thức và cực trị →
Chứng minh rằng: $abc(a-1)(b-1)(c-1)\leq 8$Bắt đầu bởi kakachjmz, 27-04-2024 thcs, toán chuyên, hsg 9, bđt |
|
0 thành viên, 2 khách, 0 thành viên ẩn danh