Đến nội dung


Chú ý

Nếu các bạn đăng kí thành viên mà không nhận được email kích hoạt thì hãy kiểm tra thùng thư rác (spam). Nếu không biết cách truy cập vào thùng thư rác thì các bạn chịu khó Google hoặc đăng câu hỏi vào mục Hướng dẫn - Trợ giúp để thành viên khác có thể hỗ trợ.


Hình ảnh

$\frac{AE}{AI}\geqslant \frac{8}{9}$


  • Please log in to reply
Chủ đề này có 1 trả lời

#1 toanND

toanND

    Hạ sĩ

  • Thành viên
  • 63 Bài viết
  • Giới tính:Nam
  • Đến từ:THPT Chuyên Nguyễn Du
  • Sở thích:bóng đá

Đã gửi 08-07-2020 - 00:20

Đây là một bài toán khá hay. Mời mọi người thảo luận

Cho tam giác ABC có AB=AC > BC và I là tâm đường tròn nội tiếp. Gọi D là giao điểm của BI và AC, J là điểm đối xứng của I qua AC. Đường tròn ngoại tiếp tam giác BDJ cắt đoạn AI tại E.

a. Chứng minh rằng $ED\parallel IJ$

b. Chứng minh rằng $\frac{AE}{AI}\geqslant \frac{8}{9}$

lop9.PNG

Nguồn: Group Hướng đến kì thi chuyên toán: Hình học


Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi toanND: 10-07-2020 - 10:47

______________ :lol:  :lol:  :lol:  :lol:  :lol:  :lol: ______________

         


#2 toanND

toanND

    Hạ sĩ

  • Thành viên
  • 63 Bài viết
  • Giới tính:Nam
  • Đến từ:THPT Chuyên Nguyễn Du
  • Sở thích:bóng đá

Đã gửi 10-07-2020 - 15:56

Sau đây là lời giải bài toán của mính: 

HINHHOC.PNG

a. Gọi F là giao điểm của AI và JC. H là giao của AI với BC.

Tam giác ABC cân tại A nên AI là đường trung trực của BC. F thuộc AI nên tam giác FBC cân tại F.

Do đó $\angle BFC=2\angle AFC=2(\angle ACJ-\angle CAF)=2(\angle ACI-\angle CAF)=\angle ACB-\angle BAC$

Lại có $\angle BDJ=2\angle BDC=2(\angle BAC+\angle ABD)=2\angle BAC+\angle ABC$

$\Rightarrow\angle BFC+\angle BDJ=\angle BAC+\angle ABC+\angle BCA=180^0$

Suy ra tứ giác BDJF nội tiếp $\Rightarrow$ B, E, D, J, F cùng thuộc một đường tròn

$\Rightarrow \angle AED=\angle FJD=\angle CID=\angle CIK+\angle KID$

Mặt khác $\angle CIK=\angle CIH=\angle BIH = \angle AID$

$\Rightarrow \angle AED = \angle KID + \angle AID = \angle AIK\Rightarrow ED\parallel IJ$ (tại vị trí đồng vị)

b. Đặt $BC=a, AB=AC=b$; K là giao của IJ với AC.

Ta có $ED \parallel IJ\Rightarrow \frac{AE}{AI}=\frac{AD}{AK}$ (định lý Thales)

Mặt khác theo tính chất đường phân giác ta có: 

$\frac{AD}{CD}=\frac{AB}{BC}=\frac{b}{a}\Rightarrow \frac{AD}{b}=\frac{CD}{a}=\frac{AD+CD}{a+b}=\frac{b}{a+b}\Rightarrow AD=\frac{b^2}{a+b}$

Lại có $AK=AC-CK=b-CH=b-\frac{a}{2}$

Do đó $\frac{AE}{AI}=\frac{\frac{b^2}{a+b}}{b-\frac{a}{2}}=\frac{2b^2}{(a+b)(2b-a)}\geq \frac{2b^2}{\frac{(a+b+2b-a)^2}{4}}=\frac{8}{9}$ 

~O)  ~O)

 


______________ :lol:  :lol:  :lol:  :lol:  :lol:  :lol: ______________

         





1 người đang xem chủ đề

0 thành viên, 1 khách, 0 thành viên ẩn danh