Đến nội dung


Chú ý

Nếu các bạn đăng kí thành viên mà không nhận được email kích hoạt thì hãy kiểm tra thùng thư rác (spam). Nếu không biết cách truy cập vào thùng thư rác thì các bạn chịu khó Google hoặc đăng câu hỏi vào mục Hướng dẫn - Trợ giúp để thành viên khác có thể hỗ trợ.


Hình ảnh

Tìm số nguyên tố p thỏa mãn $\frac{p+1}{2},\frac{p^2+1}{2}$ đều là số chính phương

số học số nguyên tố số chính phương

  • Please log in to reply
Chủ đề này có 1 trả lời

#1 bachthaison

bachthaison

    Binh nhất

  • Thành viên mới
  • 49 Bài viết
  • Giới tính:Nam
  • Đến từ:Trường THCS Vĩnh Yên - Vĩnh Yên - Vĩnh Phúc
  • Sở thích:Số học, đại số, hình học

Đã gửi 08-07-2020 - 21:49

Tìm số nguyên tố p thỏa mãn $\frac{p+1}{2},\frac{p^2+1}{2}$ đều là số chính phương


Bạn chỉ cần ngồi không là bạn cũng có tiền, từ 1-2 người, chúng ta sẽ có cả 1 hệ thống!


#2 Long Sei

Long Sei

    Hạ sĩ

  • Thành viên
  • 52 Bài viết
  • Giới tính:Nam
  • Đến từ:Hải Phòng
  • Sở thích:Hình học, Bất đẳng thức

Đã gửi 08-07-2020 - 22:09

Tìm số nguyên tố p thỏa mãn $\frac{p+1}{2},\frac{p^2+1}{2}$ đều là số chính phương

 

Vì $\frac{p+1}{2}$ và $\frac{p^{2}+1}{2}$ là hai số chính phương
 
$\Rightarrow 2(p+1)$ và $2(p^{2}+1)$ là cũng hai số chính phương
Đặt $2(p+1)=a^2,2(p^2+1)=b^2$ nên $a=2x,b=2y$
Suy ra $p+1=2x^2,p^2+1=2y^2 \Rightarrow p(p-1)=2(y-x)(y+x)$ thấy $p=2$ không là nghiệm nên $p>2$ nên $gcd(p,2)=1$
Do đó $y-x \vdots p$ hoặc $y+x \vdots p$ nếu $y-x \vdots p$ thì $2(y-x)\geq 2p$ thì $y+x\le p-1<p\le y-x$ vô lí
Suy ra $y+x \vdots p$ mà $p+1=2x^2,p^2+1=2y^2$ nên $x,y<p$ do đó $x+y<2p$ nên $x+y=p$
Nên $p(p-1)=2(y-x)p \Rightarrow 2(y-x)=p-1$ suy ra $2(p-2x)=p-1 \Rightarrow 2p-4x=p-1 \Rightarrow p+1=4x \Rightarrow x=\dfrac{p+1}{4}$ thay vào $p+1=\left(\dfrac{p+1}{4}\right)^2$ giải pt bậc hai ra nghiệm $x=2,y=5$ và suy ra $p=7$
Thử lại ta thấy p = 7 thỏa mãn yêu cầu đề bài
 
Vậy p = 7






Được gắn nhãn với một hoặc nhiều trong số những từ khóa sau: số học, số nguyên tố, số chính phương

2 người đang xem chủ đề

0 thành viên, 2 khách, 0 thành viên ẩn danh