Đến nội dung

Hình ảnh

$F_m |F_n \Leftrightarrow m|n$


  • Please log in to reply
Chủ đề này có 1 trả lời

#1
Toan0710

Toan0710

    Binh nhất

  • Thành viên mới
  • 20 Bài viết

Cho dãy số Fibonacci $\left\{\begin{matrix} F_1=F_2=1 & \\ F_n=F_{n-1}+F_{n-2} & \end{matrix}\right.$ Chứng minh rằng: $F_m |F_n \Leftrightarrow m|n$



#2
nmlinh16

nmlinh16

    Trung sĩ

  • ĐHV Toán học Hiện đại
  • 165 Bài viết

Đề thiếu, cần thêm giả thiết $m,n \ge 2$ (với $m = 2, n = 1$ thì $F_m | F_n$ nhưng $m \not | n$).

 

Bước 1. Chứng minh rằng $\gcd(F_m, F_{m-1}) = 1$ (quy nạp theo $m$).

Bước 2. Chứng minh rằng $F_{m+k} = F_{k+1}F_m + F_k F_{m-1}$ với mọi $k \ge 1$ (quy nạp theo $k$).

Bước 3. Chứng minh mệnh đề đã cho bằng quy nạp theo $n$.

Xét $n \le m$. Nếu $n < m$ thì $0 < F_n < F_m$ nên $F_m \not | F_n$. Nếu $n = m$ thì hiển nhiên $F_m | F_n$.

Do đó với $n \le m$ thì khẳng định "$F_m | F_n \Leftrightarrow m | n$" đúng.

Xét $n > m$, dùng kết quả Bước 2 cho $k = n - m$, ta được $F_n = F_{n-m+1} F_m + F_{n-m}F_{m-1}$. Do đó $$F_m | F_n \Leftrightarrow F_m | F_{n-m}F_{m-1}  \Leftrightarrow F_m | F_{n-m}$$ (dùng kết quả Bước 1). Giờ áp dụng giả thiết quy nạp cho số $n - m$: $$F_m | F_n \Leftrightarrow F_m | F_{n-m} \Leftrightarrow m | n-m \Leftrightarrow m | n.$$


Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi nmlinh16: 11-01-2023 - 03:11

$$\text{H}^r_{\text{ét}}(\mathcal{O}_K, M) \times \text{Ext}^{3-r}_{\mathcal{O}_K}(M,\mathbb{G}_m) \to \text{H}^3_{\text{ét}}(\mathcal{O}_K,\mathbb{G}_m) \cong \mathbb{Q}/\mathbb{Z}.$$

"Wir müssen wissen, wir werden wissen." - David Hilbert





2 người đang xem chủ đề

0 thành viên, 2 khách, 0 thành viên ẩn danh