Đến nội dung

Hình ảnh

Cho tgABC ngoại tiếp (I).(I) tx BC tại D. A' là điểm chính giữa cung BC. M là tđ ID. CM A'M là trục đp của đgtròn B-mix và đgtròn C-mix của tgABC

- - - - - hình học đường tròn mixtilinear trung điểm trục đẳng phương tiếp xúc ngoại tiếp

  • Please log in to reply
Chủ đề này có 1 trả lời

#1
Explorer

Explorer

    Trung sĩ

  • Thành viên
  • 155 Bài viết

Cho tam giác ABC ngoại tiếp (I). (I) tiếp xúc BC tại D. A' là điểm chính giữa cung BC. M là trung điểm ID. CM: A'M là trục đẳng phương của (Ob) và (Oc) với (Ob),(Oc) lần lượt là đường tròn mix đỉnh B,C của tam giác ABC



#2
Hoang72

Hoang72

    Thiếu úy

  • Điều hành viên OLYMPIC
  • 539 Bài viết

Qua $I$ kẻ đường thẳng vuông góc với $IB$ cắt $BA,BC$ tại $B_a,B_c$, và kẻ đường thẳng vuông góc với $IC$ cắt $CA,CB$ tại $C_a,C_b$.

$(O_b), (O_c)$ tiếp xúc với $(O)$ tại $X_b,X_c$.

Ta có kết quả quen thuộc: $A',C_b,X_c$ thẳng hàng và $A',B_c,X_b$ thẳng hàng.

Do đó: $\overline{A'C_b}.\overline{A'X_c}=A'B^2=A'C^2=\overline{A'B_c}.\overline{A'X_b}$

$\Rightarrow A'$ thuộc trục đẳng phương của $(O_b),(O_c)$.

Gọi $J$ là tâm bàng tiếp góc $A$.

Ta có: $IB_cO_b\backsim\Delta DBI(g.g)\Rightarrow \frac{IO_b}{IB_c}=\frac{ID}{BD}$.

Tương tự ta có $\frac{IO_c}{IC_b}=\frac{ID}{CD}\Rightarrow \frac{IO_b}{IO_c} . \frac{IC_b}{IB_c} = \frac{CD}{BD}$.

Lại có $\Delta IC_bB_c\backsim\Delta JCB(g.g)\Rightarrow \frac{IC_b}{IB_c} = \frac{JC}{JB}$

$\Rightarrow \frac{IO_b}{IO_c} = \frac{CD}{BD}:\frac{JC}{JB}$. $(1)$.

$JD$ cắt lại $(BIC)$ tại $Z$.

Theo bổ đề cát tuyến: $\frac{ZC}{ZB} = \frac{CD}{BD}:\frac{JC}{JB}$.

Kết hợp với $(1)$ suy ra $\frac{ZC}{ZB}=\frac{IO_b}{IO_c}$

$\Rightarrow \Delta ZCB\backsim\Delta IO_bO_c(g.g)\Rightarrow \angle IO_bO_c=\angle ZCB=\angle BJZ$.

Mà $JB\perp IO_b$, nên $O_bO_c\perp ZJ$

$\Rightarrow A'M\perp O_bO_c$.

Cũng có $A'$ thuộc trục đẳng phương của $(O_b),(O_c)$, do đó, $A'M$ là trục đẳng phương của hai đường tròn này.


Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi Hoang72: 11-01-2023 - 09:37






Được gắn nhãn với một hoặc nhiều trong số những từ khóa sau: hình học, đường tròn, mixtilinear, trung điểm, trục đẳng phương, tiếp xúc, ngoại tiếp

2 người đang xem chủ đề

0 thành viên, 2 khách, 0 thành viên ẩn danh