Cho tam giác ABC ngoại tiếp (I). (I) tiếp xúc BC tại D. A' là điểm chính giữa cung BC. M là trung điểm ID. CM: A'M là trục đẳng phương của (Ob) và (Oc) với (Ob),(Oc) lần lượt là đường tròn mix đỉnh B,C của tam giác ABC
Cho tgABC ngoại tiếp (I).(I) tx BC tại D. A' là điểm chính giữa cung BC. M là tđ ID. CM A'M là trục đp của đgtròn B-mix và đgtròn C-mix của tgABC
#1
Đã gửi 10-01-2023 - 20:09
#2
Đã gửi 11-01-2023 - 09:36
Qua $I$ kẻ đường thẳng vuông góc với $IB$ cắt $BA,BC$ tại $B_a,B_c$, và kẻ đường thẳng vuông góc với $IC$ cắt $CA,CB$ tại $C_a,C_b$.
$(O_b), (O_c)$ tiếp xúc với $(O)$ tại $X_b,X_c$.
Ta có kết quả quen thuộc: $A',C_b,X_c$ thẳng hàng và $A',B_c,X_b$ thẳng hàng.
Do đó: $\overline{A'C_b}.\overline{A'X_c}=A'B^2=A'C^2=\overline{A'B_c}.\overline{A'X_b}$
$\Rightarrow A'$ thuộc trục đẳng phương của $(O_b),(O_c)$.
Gọi $J$ là tâm bàng tiếp góc $A$.
Ta có: $IB_cO_b\backsim\Delta DBI(g.g)\Rightarrow \frac{IO_b}{IB_c}=\frac{ID}{BD}$.
Tương tự ta có $\frac{IO_c}{IC_b}=\frac{ID}{CD}\Rightarrow \frac{IO_b}{IO_c} . \frac{IC_b}{IB_c} = \frac{CD}{BD}$.
Lại có $\Delta IC_bB_c\backsim\Delta JCB(g.g)\Rightarrow \frac{IC_b}{IB_c} = \frac{JC}{JB}$
$\Rightarrow \frac{IO_b}{IO_c} = \frac{CD}{BD}:\frac{JC}{JB}$. $(1)$.
$JD$ cắt lại $(BIC)$ tại $Z$.
Theo bổ đề cát tuyến: $\frac{ZC}{ZB} = \frac{CD}{BD}:\frac{JC}{JB}$.
Kết hợp với $(1)$ suy ra $\frac{ZC}{ZB}=\frac{IO_b}{IO_c}$
$\Rightarrow \Delta ZCB\backsim\Delta IO_bO_c(g.g)\Rightarrow \angle IO_bO_c=\angle ZCB=\angle BJZ$.
Mà $JB\perp IO_b$, nên $O_bO_c\perp ZJ$
$\Rightarrow A'M\perp O_bO_c$.
Cũng có $A'$ thuộc trục đẳng phương của $(O_b),(O_c)$, do đó, $A'M$ là trục đẳng phương của hai đường tròn này.
Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi Hoang72: 11-01-2023 - 09:37
- Explorer và Moon Loves Math thích
Được gắn nhãn với một hoặc nhiều trong số những từ khóa sau: hình học, đường tròn, mixtilinear, trung điểm, trục đẳng phương, tiếp xúc, ngoại tiếp
Toán Trung học Cơ sở →
Hình học →
Chứng minh rằng tam giác ABE đồng dạng với tam giác AGC.Bắt đầu bởi Tantran2510, Hôm qua, 17:50 hình học, đồng dạng, nội tiếp |
|
|||
Solved
Toán Trung học Cơ sở →
Hình học →
Chứng minh PQ.CB=DC.QN và O là trung điểm của PQ.Bắt đầu bởi nonamebroy, 18-04-2024 hình học |
|
|||
Solved
Toán Trung học Cơ sở →
Hình học →
Chứng minh tứ giác MAOB nội tiếp đường tròn.Bắt đầu bởi Phuockq, 07-04-2024 hình học |
|
|||
Toán Trung học Cơ sở →
Hình học →
Chứng minh M, P, N, J cùng nằm trên một đường trònBắt đầu bởi dreamee3014, 26-02-2024 đường tròn, tứ giác nội tiếp và . |
|
|||
Toán thi Học sinh giỏi và Olympic →
Hình học →
Chứng minh B,M,N,C đồng viênBắt đầu bởi VGNam, 22-02-2024 hình học |
|
1 người đang xem chủ đề
0 thành viên, 1 khách, 0 thành viên ẩn danh