Đến nội dung


Chú ý

Nếu các bạn đăng kí thành viên mà không nhận được email kích hoạt thì hãy kiểm tra thùng thư rác (spam). Nếu không biết cách truy cập vào thùng thư rác thì các bạn chịu khó Google hoặc đăng câu hỏi vào mục Hướng dẫn - Trợ giúp để thành viên khác có thể hỗ trợ.


Hình ảnh

Vẻ đẹp của bất đẳng thức tự sáng tạo và những lời giải của chúng.


  • Please log in to reply
Chủ đề này có 34 trả lời

#1 tthnew

tthnew

    Sĩ quan

  • Điều hành viên THCS
  • 424 Bài viết
  • Giới tính:Nam
  • Đến từ:Nơi cần đến.
  • Sở thích:Viết blog, viết SOS .v.v.. etc.

Đã gửi 09-07-2020 - 10:36

$\boxed{\text{Bài 1}}$ Cho $x,y,z>0.$ Chứng minh rằng$:$ $$\frac{1}{2}+\frac{1}{2}{r}^{2}+\frac{1}{3}\,{p}^{2}+\frac{2}{3}\,{q}^{2}-\frac{1}{6} Q-\frac{3}{2} r-\frac{2}{3}q-\frac{1}{6}pq-\frac{5}{3} \,pr\geqslant 0$$ với $$\Big[p=x+y+z,q=xy+zx+yz,r=xyz,Q= \left( x-y \right)  \left( y-z \right) \left( z-x \right)\Big ]$$

(Xuất xứ$:$ Sáng tác)

Một cách chứng minh bằng SOS$:$ $$\text{LHS}=\frac{1}{12}\,\sum \left( 3\,{z}^{2}+1 \right)  \left( x-y \right) ^{2}+\frac{1}{6} \sum\,y \left( y+z \right)  \left( x-1 \right) ^{2}+\frac{1}{2}\, \left( xyz-1 \right) ^{2} \geqslant 0$$ Ngoài ra$,$ còn tồn tại cách chứng minh bằng AM-GM hoặc Cauchy - Schwarz! :D Hãy thử tìm nó$!?$

Nếu bạn vẫn chưa nghĩ ra thì đừng ngần ngại xem tiếp lời giải!

Trên Mathematics Stack Exchange ông Michael Rozenberg có đề xuất một lời giải bằng AM-GM rất khéo léo như sau$:$

Cách chứng minh bằng AM-GM

Vậy còn cách dùng Cauchy - Schwarz$?$ Mình xin đề xuất lời giải như sau$:$

Cauchy-Schwarz inequality's proof

 

Bình luận$:$ Mấu chốt của cách chứng minh bằng Cauchy-Schwarz chính là viết lại dưới dạng $(1).$

 

Có thể nói$,$ việc nhìn ra những lời giải như trên là khá khó khăn$,$ nếu không biết đường con đường suy nghĩ ra bài toán của tác giả. Và cũng chính vì thế những bất đẳng thức tự sáng tác lại hay (và có khi chuối) hơn bao giờ hết! :D

Mọi người hãy thử tự sáng tác ra bất đẳng thức và đăng vào TOPIC này nhé! :like   :oto:  :oto:  

PS$:$ Xin lỗi vì công thức toán khá dài nên em không thể gõ lên tiêu đề được..


Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi tthnew: 09-07-2020 - 10:45

Blog: https://t-t-h-n-e-w.blogspot.com/ 

Github: https://github.com/tthnew

Các chương trình trên Maple(có code): https://github.com/t...w/MaplePackages

Giới thiệu INEQTOOL program: https://diendantoanh...bđt-trên-maple/


#2 Peteroldar

Peteroldar

    Thượng sĩ

  • Thành viên
  • 275 Bài viết
  • Giới tính:Nam
  • Đến từ:PUBG
  • Sở thích:PUBG, maths, and so on....

Đã gửi 09-07-2020 - 22:36

$\boxed{\text{Bài 2}}$ Cho $a,b,c\ge 0$ CMR $$\frac{a(b+c)+(b-c)^2}{b^2+c^2}+\frac{b(c+a)+(c-a)^2}{c^2+a^2}+\frac{c(a+b)+(a-b)^2}{a^2+b^2}\ge 3$$

Dấu bằng xảy ra khi $a=b=c$ hoặc $a=b, \,\ c=0$ và các hoán vị tương ứng. :D

 

                                                                                                                     Nguồn: Tự chế, khá chuối và dễ  :blush:

 



#3 Daniel18

Daniel18

    Trung sĩ

  • Thành viên
  • 171 Bài viết

Đã gửi 09-07-2020 - 23:06

$\boxed{\text{Bài 2}}$ Cho $a,b,c\ge 0$ CMR $$\frac{a(b+c)+(b-c)^2}{b^2+c^2}+\frac{b(c+a)+(c-a)^2}{c^2+a^2}+\frac{c(a+b)+(a-b)^2}{a^2+b^2}\ge 3$$
Dấu bằng xảy ra khi $a=b=c$ hoặc $a=b, \,\ c=0$ và các hoán vị tương ứng. :D

Nguồn: Tự chế, khá chuối và dễ :blush:

$LHS-RHS=\sum \frac{c(a-b)^2(a+b)}{(a^2+c^2)(c^2+b^2)}\geqq 0$
Hay
$\frac{\sum (a-b)^2(ab(a^2+ab+b^2)+c^4)}{(a^2+b^2)(b^2+c^2)(c^2+a^2)}\geqq 0$

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi Daniel18: 09-07-2020 - 23:13


#4 tthnew

tthnew

    Sĩ quan

  • Điều hành viên THCS
  • 424 Bài viết
  • Giới tính:Nam
  • Đến từ:Nơi cần đến.
  • Sở thích:Viết blog, viết SOS .v.v.. etc.

Đã gửi 10-07-2020 - 06:47

$\boxed{\text{Bài 2}}$ Cho $a,b,c\ge 0$ CMR $$\frac{a(b+c)+(b-c)^2}{b^2+c^2}+\frac{b(c+a)+(c-a)^2}{c^2+a^2}+\frac{c(a+b)+(a-b)^2}{a^2+b^2}\ge 3$$

Dấu bằng xảy ra khi $a=b=c$ hoặc $a=b, \,\ c=0$ và các hoán vị tương ứng. :D

 

                                                                                                                     Nguồn: Tự chế, khá chuối và dễ  :blush:

Mạnh hơn một chút là

$\boxed{\text{Bài 3}}$ $${\frac {2\,a \left( b+c \right) + \left( b-c \right) ^{2}}{2\,(b^2+c^2) }}+{\frac {2\,b \left( c+a \right) + \left( c-a \right) ^{2} }{2\,(c^2+a^2)}}+{\frac {2\,c \left( a+b \right) + \left( a-b \right) ^{2}}{2\,(a^2+b^2)}} \geqslant 3$$

Tương đương với$:$ $$\frac12 \sum\,ab \left( 3\,{a}^{2}+3\,{b}^{2}+{c}^{2} \right)  \left( a-b \right) ^{2}+\frac12 \sum\,ab \left( a-b \right) ^{2} \left( a+b-c \right) ^{2 } \geqslant 0$$

Ngoài ra không dễ dàng nhận thấy bài trên là hệ quả của BĐT sau đây $${\frac {20\,{a}^{2}+5\,ab+5\,ac+2\,{b}^{2}-4\,bc+2\,{c}^{2}}{8\,{a}^{2 }+2\,ab+2\,ac+8\,{b}^{2}+2\,bc+8\,{c}^{2}}}\leq {\frac {2\,a \left( b+ c \right) + \left( b-c \right) ^{2}}{2\,{b}^{2}+2\,{c}^{2}}}$$

Những cách khác$?$

Mạnh hơn nữa$:$

$\boxed{\text{Bài 4}}$ $${\frac {2\,a \left( b+c \right) + \left( b-c \right) ^{2}}{2\,(b^2+c^2) }}+{\frac {2\,b \left( c+a \right) + \left( c-a \right) ^{2} }{2\,(c^2+a^2)}}+{\frac {2\,c \left( a+b \right) + \left( a-b \right) ^{2}}{2\,(a^2+b^2)}} \geqslant 3 +\frac{5(a-b)^2(b-c)^2(c-a)^2}{2(a^2+b^2)(b^2+c^2)(c^2+a^2)}$$

Nhưng mình không có cách SOS nào cho bài $4.$


Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi tthnew: 10-07-2020 - 07:32

Blog: https://t-t-h-n-e-w.blogspot.com/ 

Github: https://github.com/tthnew

Các chương trình trên Maple(có code): https://github.com/t...w/MaplePackages

Giới thiệu INEQTOOL program: https://diendantoanh...bđt-trên-maple/


#5 Daniel18

Daniel18

    Trung sĩ

  • Thành viên
  • 171 Bài viết

Đã gửi 10-07-2020 - 11:45

Mạnh hơn một chút là
$\boxed{\text{Bài 3}}$ $${\frac {2\,a \left( b+c \right) + \left( b-c \right) ^{2}}{2\,(b^2+c^2) }}+{\frac {2\,b \left( c+a \right) + \left( c-a \right) ^{2} }{2\,(c^2+a^2)}}+{\frac {2\,c \left( a+b \right) + \left( a-b \right) ^{2}}{2\,(a^2+b^2)}} \geqslant 3$$

$LHS -RHS=\frac{\sum 2ab(a^2+b^2)(a-b)^2+(a-b)^2(b-c)^2(c-a)^2}{2(a^2+b^2)(b^2+c^2)(c^2+a^2)}\geqq 0$

#6 Daniel18

Daniel18

    Trung sĩ

  • Thành viên
  • 171 Bài viết

Đã gửi 10-07-2020 - 11:52

$\boxed{\text{Bài 4}}$ $${\frac {2\,a \left( b+c \right) + \left( b-c \right) ^{2}}{2\,(b^2+c^2) }}+{\frac {2\,b \left( c+a \right) + \left( c-a \right) ^{2} }{2\,(c^2+a^2)}}+{\frac {2\,c \left( a+b \right) + \left( a-b \right) ^{2}}{2\,(a^2+b^2)}} \geqslant 3 +\frac{5(a-b)^2(b-c)^2(c-a)^2}{2(a^2+b^2)(b^2+c^2)(c^2+a^2)}$$


$LHS-RHS=\frac{\sum[ 2ab(a-b)^4]+4c^2(a-b)^2(a^2+b^2-c^2)+4a^2c^2(b-c)^2+4b^2c^2(c-a)^2+c(a-b)^2(a+b)(2ab-bc-ca)}{2(a^2+b^2)(b^2+c^2)(c^2+a^2)}\geqq 0$
Với $c=min${$a,b,c$}

#7 Peteroldar

Peteroldar

    Thượng sĩ

  • Thành viên
  • 275 Bài viết
  • Giới tính:Nam
  • Đến từ:PUBG
  • Sở thích:PUBG, maths, and so on....

Đã gửi 10-07-2020 - 16:02

Mạnh hơn một chút là

$\boxed{\text{Bài 3}}$ $${\frac {2\,a \left( b+c \right) + \left( b-c \right) ^{2}}{2\,(b^2+c^2) }}+{\frac {2\,b \left( c+a \right) + \left( c-a \right) ^{2} }{2\,(c^2+a^2)}}+{\frac {2\,c \left( a+b \right) + \left( a-b \right) ^{2}}{2\,(a^2+b^2)}} \geqslant 3$$

 

$$LHS-RHS=\frac{(a^2+b^2+c^2-ab-bc-ca)\sum a^2(a-b)(a-c)+(a+b)(b+c)(c+a)\sum a(a-b)(a-c)}{2(a^2+b^2)(b^2+c^2)(c^2+a^2)}\ge 0$$



#8 tthnew

tthnew

    Sĩ quan

  • Điều hành viên THCS
  • 424 Bài viết
  • Giới tính:Nam
  • Đến từ:Nơi cần đến.
  • Sở thích:Viết blog, viết SOS .v.v.. etc.

Đã gửi 10-07-2020 - 19:19

$\boxed{\text{Bài 4}}$ $${\frac {2\,a \left( b+c \right) + \left( b-c \right) ^{2}}{2\,(b^2+c^2) }}+{\frac {2\,b \left( c+a \right) + \left( c-a \right) ^{2} }{2\,(c^2+a^2)}}+{\frac {2\,c \left( a+b \right) + \left( a-b \right) ^{2}}{2\,(a^2+b^2)}} \geqslant 3 +\frac{5(a-b)^2(b-c)^2(c-a)^2}{2(a^2+b^2)(b^2+c^2)(c^2+a^2)}$$

Nhưng mình không có cách SOS nào cho bài $4.$

$\boxed{\text{Bài 5}}$ Cho $a,b,c\geqslant 0.$ Đặt $$\text{M} = 3 +\frac{20\Big[ {a}^{2} \left( a-b \right)  \left( a-c \right) +{b}^{2} \left( b-c \right)  \left( b-a \right) +{c}^{2} \left( c-a \right)  \left( c-b \right)\Big]}{3(a+b+c)^4}$$

$$\text{N} = 3 +\frac{5(a-b)^2(b-c)^2(c-a)^2}{2(a^2+b^2)(b^2+c^2)(c^2+a^2)} $$

Chứng minh$:$  $${\frac {2\,a \left( b+c \right) + \left( b-c \right) ^{2}}{2\,(b^2+c^2) }}+{\frac {2\,b \left( c+a \right) + \left( c-a \right) ^{2} }{2\,(c^2+a^2)}}+{\frac {2\,c \left( a+b \right) + \left( a-b \right) ^{2}}{2\,(a^2+b^2)}} \geqslant \text{M} \geqslant \text{N} $$

Bình luận. Bài $5$ mạnh mẽ hơn bài $4.$

 

PS: Khuấy động TOPIC lên đi mọi người ơi :D


Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi tthnew: 10-07-2020 - 19:30

Blog: https://t-t-h-n-e-w.blogspot.com/ 

Github: https://github.com/tthnew

Các chương trình trên Maple(có code): https://github.com/t...w/MaplePackages

Giới thiệu INEQTOOL program: https://diendantoanh...bđt-trên-maple/


#9 Peteroldar

Peteroldar

    Thượng sĩ

  • Thành viên
  • 275 Bài viết
  • Giới tính:Nam
  • Đến từ:PUBG
  • Sở thích:PUBG, maths, and so on....

Đã gửi 12-07-2020 - 09:56

$\boxed{\text{Bài 6}}$ Propose by Peteroldar :

Cho $a,b,c>0$ CMR $$\frac{a}{b}+\frac{b}{c}+\frac{c}{a}\ge \frac{9(a^2+b^2+c^2)}{(a+b+c)^2}+\frac{a^2+b^2+c^2-ab-bc-ca}{3(ab+bc+ca)}$$

 

Bài này có vẻ khấm khá hơn :D

 

Đây là dạng làm mạnh của bài thầy Cẩn


Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi Peteroldar: 12-07-2020 - 10:14


#10 tthnew

tthnew

    Sĩ quan

  • Điều hành viên THCS
  • 424 Bài viết
  • Giới tính:Nam
  • Đến từ:Nơi cần đến.
  • Sở thích:Viết blog, viết SOS .v.v.. etc.

Đã gửi 12-07-2020 - 10:43

$\boxed{\text{Bài 6}}$ Propose by Peteroldar :

Cho $a,b,c>0$ CMR $$\frac{a}{b}+\frac{b}{c}+\frac{c}{a}\ge \frac{9(a^2+b^2+c^2)}{(a+b+c)^2}+\frac{a^2+b^2+c^2-ab-bc-ca}{3(ab+bc+ca)}$$

 

Bài này có vẻ khấm khá hơn :D

 

Đây là dạng làm mạnh của bài thầy Cẩn

Mình không thể tìm ra kiểu SOS nào cho nó nên sẽ mạnh tay dùng thẳng Bổ đề Hoán vị của anh Huyện nha!

Chuẩn hóa $p=a+b+c=1$ thì $$\frac{a}{b} +\frac{b}{c} +\frac{c}{a} \geqslant \,{\frac {2(27\,{q}^{2}-9\,q+1)}{9\,{q}^{2}-2\,q+ \left( 1-3\,q \right) \sqrt {q \left( 1-3\,q \right) }}}+\frac{1}{q}-6$$

Ta cần chứng minh$:$ $$2\,{\frac {27\,{q}^{2}-9\,q+1}{9\,{q}^{2}-2\,q+ \left( 1-3\,q \right) \sqrt {q \left( 1-3\,q \right) }}}+\frac{1}{q}-15+18\,q-\frac{1}{3}\cdot {\frac {1-3 \,q}{q}} \geqslant 0$$

Đặt $x=\sqrt{\frac{1-3q}{q}} \geqslant 0$ thì cần chứng minh$:$ $$\frac{2}{3} \cdot {\frac { \left( {x}^{3}+4\,{x}^{2}-6\,x+3 \right) {x}^{2}}{ \left( x+1 \right)  \left( {x}^{2}+3 \right) }} \geqslant 0$$

PS$:$ Mình cho rằng với mọi $k$ thỏa mãn $$-864\,{k}^{4}+2592\,{k}^{3}-1584\,{k}^{2}+192\,k-192 \leqslant 0$$ và $a,b,c>0$ thì bất đẳng thức sau đúng$:$ 

$$\frac{a}{b}+\frac{b}{c}+\frac{c}{a}\ge \frac{9(a^2+b^2+c^2)}{(a+b+c)^2}+\frac{a^2+b^2+c^2-ab-bc-ca}{k(ab+bc+ca)}$$


Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi tthnew: 12-07-2020 - 11:00

Blog: https://t-t-h-n-e-w.blogspot.com/ 

Github: https://github.com/tthnew

Các chương trình trên Maple(có code): https://github.com/t...w/MaplePackages

Giới thiệu INEQTOOL program: https://diendantoanh...bđt-trên-maple/


#11 tthnew

tthnew

    Sĩ quan

  • Điều hành viên THCS
  • 424 Bài viết
  • Giới tính:Nam
  • Đến từ:Nơi cần đến.
  • Sở thích:Viết blog, viết SOS .v.v.. etc.

Đã gửi 12-07-2020 - 14:03

$\boxed{\text{Bài 5}}$ Cho $a,b,c\geqslant 0.$ Đặt $$\text{M} = 3 +\frac{20\Big[ {a}^{2} \left( a-b \right)  \left( a-c \right) +{b}^{2} \left( b-c \right)  \left( b-a \right) +{c}^{2} \left( c-a \right)  \left( c-b \right)\Big]}{3(a+b+c)^4}$$

$$\text{N} = 3 +\frac{5(a-b)^2(b-c)^2(c-a)^2}{2(a^2+b^2)(b^2+c^2)(c^2+a^2)} $$

Chứng minh$:$  $${\frac {2\,a \left( b+c \right) + \left( b-c \right) ^{2}}{2\,(b^2+c^2) }}+{\frac {2\,b \left( c+a \right) + \left( c-a \right) ^{2} }{2\,(c^2+a^2)}}+{\frac {2\,c \left( a+b \right) + \left( a-b \right) ^{2}}{2\,(a^2+b^2)}} \geqslant \text{M} \geqslant \text{N} $$

Bình luận. Bài $5$ mạnh mẽ hơn bài $4.$

 

PS: Khuấy động TOPIC lên đi mọi người ơi :D

Từ bài này thu được một bất đẳng thức chặt hơn $\lceil$ SCHUR!degree 4 $\rfloor$! ;)

$$\sum a^2 (a-b)(a-c) \geqslant \frac{3}{8} \cdot \frac{(a-b)^2(b-c)^2(c-a)^2(a+b+c)^4}{(a^2+b^2)(b^2+c^2)(c^2+a^2)}$$

Xem tại đây$:$ $\lceil$ https://artofproblem..._schur_degree_4 $\rfloor$

Tương tự là$:$

$\boxed{\text{Bài 7}}$ $$\sum {x}^{3} \left( x-y \right)  \left( x-z \right) \geqslant \frac{1}{4} \cdot \,{\frac { \left( x -y \right) ^{2} \left( y-z \right) ^{2} \left( z-x \right) ^{2} \left( x+y+z \right) ^{5}}{ \left( {x}^{2}+{y}^{2} \right)  \left( {y }^{2}+{z}^{2} \right)  \left( {x}^{2}+{z}^{2} \right) }}$$ Do Lorian Saceanu đề xuất từ dạng cho $\lceil$ SCHUR!degree 4 $\rfloor$ của mình! :D


Blog: https://t-t-h-n-e-w.blogspot.com/ 

Github: https://github.com/tthnew

Các chương trình trên Maple(có code): https://github.com/t...w/MaplePackages

Giới thiệu INEQTOOL program: https://diendantoanh...bđt-trên-maple/


#12 tthnew

tthnew

    Sĩ quan

  • Điều hành viên THCS
  • 424 Bài viết
  • Giới tính:Nam
  • Đến từ:Nơi cần đến.
  • Sở thích:Viết blog, viết SOS .v.v.. etc.

Đã gửi 13-07-2020 - 11:49

$\boxed{\text{Bài 8}}$ (KaiRain) Cho $a,b,c \geqslant 0.$ Chứng minh$:$ a) $$ \frac{ab+bc+ca}{(b+c)^2} \ge \frac{3}{4} +\frac{1}{12} \cdot \frac{8a^3+10(b+c)a^2-(11b^2-6bc+11c^2)a-(b+c)(b^2+4bc+c^2)}{(a+b)(b+c)(c+a)}$$

Lời giải của mình$:$ $$12\, \Big[ \left( a+b-c \right) ^{2}+bc \Big] \left( b+c \right) ^{2} \left( a+b \right) \left( c+a \right) \cdot (\text{VT}-\text{VP}) $$ $$=\left( 3\,{a}^{2}b+{a}^{2}c-2\,a{b}^{2}-2\,a{c}^{2}-{b}^{3}+2\,{b}^{2 }c-2\,b{c}^{2}+{c}^{3} \right) ^{2}$$ $$+4\,a \left( c-a \right) ^{2} \left( {a}^{2}b+{a}^{2}c-2\,a{b}^{2}-2\, a{c}^{2}+{b}^{3}+{c}^{3} \right) $$

Tuy nhiên để tìm được lời giải này thì không phải dễ dàng. Mong mọi người tìm ra các cách chứng minh khác đơn giản hơn!

Tương tự là$:$ 

$\ \ \frac{ab+bc+ca}{(b+c)^2} -\frac{3}{4}$

$\ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \  \ge \frac{1}{2} \cdot \frac{(4\sqrt{5}+16)a^2+(\sqrt{5}-1)(b+c)a-(9+3\sqrt{5})(b^2+c^2)+4bc}{\Big[2a+2b+(\sqrt{5}+1)c\Big] \cdot \Big[2a+2c+(\sqrt{5}+1)b\Big]} \,\, (1)$

Và $$\frac{ab+bc+ca}{(b+c)^2} \ge \frac{3}{4} + \frac{1}{4} \cdot \frac{14a^2-9b^2-9c^2+ab+2bc+ca}{(a+b+c)(a+2b+2c)} \,\, (2)$$

Bất đẳng thức $(2)$ tương đương với$:$


Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi tthnew: 13-07-2020 - 11:52

Blog: https://t-t-h-n-e-w.blogspot.com/ 

Github: https://github.com/tthnew

Các chương trình trên Maple(có code): https://github.com/t...w/MaplePackages

Giới thiệu INEQTOOL program: https://diendantoanh...bđt-trên-maple/


#13 tthnew

tthnew

    Sĩ quan

  • Điều hành viên THCS
  • 424 Bài viết
  • Giới tính:Nam
  • Đến từ:Nơi cần đến.
  • Sở thích:Viết blog, viết SOS .v.v.. etc.

Đã gửi 13-07-2020 - 20:43

$\boxed{\text{Bài 9}}$ (Hình như bài này do bạn BestChoice123 đề xuất thì phải) Cho $a,b,c,k>0.$ \[(a^2+kbc)(b^2+kca)(c^2+kab)\geq abc(a+kb)(b+kc)(c+ka)\]

Lời giải. $$\text{VT}-\text{VP}=\frac{1}{3} k \sum \left( a-b \right) ^{2}c \left( {a}^{2}bk+2\,a{b}^{2}k+2\,a{c}^{2}+b{ c}^{2} \right) \geqslant 0$$

$\boxed{\text{Bài 10}}$ Cho $x,y,z \geqslant 0.$ $$ {\frac { \left( x+y+z \right) ^{2}}{{ x}^{2}+xy+{y}^{2}}} \geqslant -\,{\frac {8\,{x}^{2}-32\,xy-11\,xz+8\,{y}^{2}-11\,yz-43\,{z}^{2}}{3 \left( x+y+z \right) ^{2}}}$$

$\boxed{\text{Bài 11}}$ Cho $x,y,z \geqslant 0.$ $$\sum {\frac {y+z}{x}}+\,{\frac {1728 {x}^{ 3}{y}^{3}{z}^{3}}{ \left( x+y \right) ^{2} \left( y+z \right) ^{2} \left( z+x \right) ^{2} \left( x+y+z \right) ^{3}}} \geqslant 4\sum {\frac {x}{y+z }}+1$$

$\boxed{\text{Bài 12}}$ (NguyenHuyen_AG) Cho $a,b,c \geqslant 0.$ \[\frac{(a+b)(a+b+c)}{(a+b)^2+\frac{1}{7}(a-b)^2} \geqslant \frac{9}{4} \cdot \frac{8c^2+5c(a+b)+a^2+6ab+b^2}{5(a^2+b^2+c^2)+8(ab+bc+ca)}.\]


Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi tthnew: 13-07-2020 - 20:51

Blog: https://t-t-h-n-e-w.blogspot.com/ 

Github: https://github.com/tthnew

Các chương trình trên Maple(có code): https://github.com/t...w/MaplePackages

Giới thiệu INEQTOOL program: https://diendantoanh...bđt-trên-maple/


#14 tthnew

tthnew

    Sĩ quan

  • Điều hành viên THCS
  • 424 Bài viết
  • Giới tính:Nam
  • Đến từ:Nơi cần đến.
  • Sở thích:Viết blog, viết SOS .v.v.. etc.

Đã gửi 15-07-2020 - 20:49

Mấy nay Maple bị hư$,$ nãy trở lại :)

 

$\boxed{\text{Bài 12}}$ (NguyenHuyen_AG) Cho $a,b,c \geqslant 0.$ \[\frac{(a+b)(a+b+c)}{(a+b)^2+\frac{1}{7}(a-b)^2} \geqslant \frac{9}{4} \cdot \frac{8c^2+5c(a+b)+a^2+6ab+b^2}{5(a^2+b^2+c^2)+8(ab+bc+ca)}.\]

Lời giải (2 cách)
 


Blog: https://t-t-h-n-e-w.blogspot.com/ 

Github: https://github.com/tthnew

Các chương trình trên Maple(có code): https://github.com/t...w/MaplePackages

Giới thiệu INEQTOOL program: https://diendantoanh...bđt-trên-maple/


#15 tthnew

tthnew

    Sĩ quan

  • Điều hành viên THCS
  • 424 Bài viết
  • Giới tính:Nam
  • Đến từ:Nơi cần đến.
  • Sở thích:Viết blog, viết SOS .v.v.. etc.

Đã gửi 16-07-2020 - 12:19

$\boxed{\text{Bài 13}}$ (Mạnh mẽ hơn bài IV - KHTN) Cho $a,b,c \geqslant 0.$ $$\sum (a^2 -bc) \Big[9\, \left( a+b+c \right) ^{2} \left( ab+ac+bc \right) ^{2}+108\,{a}^{2 }{b}^{2}{c}^{2}-31\,abc \left( a+b+c \right) ^{3}\Big] \geqslant {\frac {27}{4}}\, \left( a+b+c \right) ^{2} \prod \left( a-b \right) ^{2} $$

$\boxed{\text{Bài 14}}$ Cho $a,b,c$ là các số thực. Chứng minh rằng$:$ $$\sum (a^2 -bc) \Big[9\, \left( a+b+c \right) ^{2} \left( ab+ac+bc \right) ^{2}+108\,{a}^{2 }{b}^{2}{c}^{2}-31\,abc \left( a+b+c \right) ^{3}\Big] \geqslant 81\sum ab \prod \left( a-b \right) ^{2} $$


Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi tthnew: 16-07-2020 - 15:41

Blog: https://t-t-h-n-e-w.blogspot.com/ 

Github: https://github.com/tthnew

Các chương trình trên Maple(có code): https://github.com/t...w/MaplePackages

Giới thiệu INEQTOOL program: https://diendantoanh...bđt-trên-maple/


#16 Peteroldar

Peteroldar

    Thượng sĩ

  • Thành viên
  • 275 Bài viết
  • Giới tính:Nam
  • Đến từ:PUBG
  • Sở thích:PUBG, maths, and so on....

Đã gửi 17-07-2020 - 06:22

$\boxed{\text{Bài 15}}$ (Mạnh hơn Schur bậc 3) Cho $a,b,c\ge 0$ CMR

$$a^3+b^3+c^3+3abc\ge ab(a+b)+bc(b+c)+ca(c+a)+\left(\sqrt{a}-\sqrt{b}\right)^2\left(\sqrt{b}-\sqrt{c}\right)^2\left(\sqrt{c}-\sqrt{a}\right)^2$$
 
Lời giải của mình

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi Peteroldar: 17-07-2020 - 06:29


#17 tthnew

tthnew

    Sĩ quan

  • Điều hành viên THCS
  • 424 Bài viết
  • Giới tính:Nam
  • Đến từ:Nơi cần đến.
  • Sở thích:Viết blog, viết SOS .v.v.. etc.

Đã gửi 17-07-2020 - 13:12

$\boxed{\text{Bài 4}}$ $${\frac {2\,a \left( b+c \right) + \left( b-c \right) ^{2}}{2\,(b^2+c^2) }}+{\frac {2\,b \left( c+a \right) + \left( c-a \right) ^{2} }{2\,(c^2+a^2)}}+{\frac {2\,c \left( a+b \right) + \left( a-b \right) ^{2}}{2\,(a^2+b^2)}} \geqslant 3 +\frac{5(a-b)^2(b-c)^2(c-a)^2}{2(a^2+b^2)(b^2+c^2)(c^2+a^2)}$$

Nhưng mình không có cách SOS nào cho bài $4.$

Có lời giải bằng phương pháp SS nhưng khá xấu:

$$\text{đpcm} \Leftarrow f_1 (a-b)^2 +f_2 (a-c)(b-c) \geqslant 0$$

$$f_1 \equiv \frac{1}{2} \Big[-6\,{c}^{4}+ \left( 5\,a+5\,b \right) {c}^{3}+ \left( -{a}^{2}-8\,ab-{ b}^{2} \right) {c}^{2}+ \left( a+b \right)  \left( 2\,{a}^{2}+3\,ab+2 \,{b}^{2} \right) c+2\,ab \left( a-b \right) ^{2}\Big]$$

$$f_2 \equiv \frac{1}{2} c \left( a+b \right)  \left( 7\,{a}^{2}-12\,ab+7\,{b}^{2}+2\,{c}^ {2} \right)$$

Giả sử $c=\min\{a,b,c\}$ thì thấy cái trên đúng.

PS$:$ Bài $15$ vẫn đúng với $k=8.$ $$a^3+b^3+c^3+3abc\geqslant ab(a+b)+bc(b+c)+ca(c+a)+k\left(\sqrt{a}-\sqrt{b}\right)^2\left(\sqrt{b}-\sqrt{c}\right)^2\left(\sqrt{c}-\sqrt{a}\right)^2$$

$\boxed{\text{Bài 16}}$ Cho $x,y,z>0.$ $${\frac {{x}^{2}+{y}^{2}+{z}^{2}}{xy+xz+yz}}+3\,{\frac {{x}^{3}y+x{z}^{ 3}+{y}^{3}z}{ \left( {x}^{2}+{y}^{2}+{z}^{2} \right) ^{2}}}\geqslant 2$$

Nhận xét. Bất đẳng thức $16$ không đúng với mọi số thực $x,y,z.$ Điển hình có thể thấy [ x = 1, y = -5, z = -5/8 ] thì bất đẳng thức không đúng.


Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi tthnew: 17-07-2020 - 13:39

Blog: https://t-t-h-n-e-w.blogspot.com/ 

Github: https://github.com/tthnew

Các chương trình trên Maple(có code): https://github.com/t...w/MaplePackages

Giới thiệu INEQTOOL program: https://diendantoanh...bđt-trên-maple/


#18 Daniel18

Daniel18

    Trung sĩ

  • Thành viên
  • 171 Bài viết

Đã gửi 17-07-2020 - 17:49

$\boxed{\text{Bài 15}}$ (Mạnh hơn Schur bậc 3) Cho $a,b,c\ge 0$ CMR
$$a^3+b^3+c^3+3abc\ge ab(a+b)+bc(b+c)+ca(c+a)+\left(\sqrt{a}-\sqrt{b}\right)^2\left(\sqrt{b}-\sqrt{c}\right)^2\left(\sqrt{c}-\sqrt{a}\right)^2$$

Lời giải của mình

Đặt $(\sqrt{x},\sqrt{y},\sqrt{z})—>(a,b,c)$
$LHS-RHS=(a^2+b^2+c^2-ab-bc-ca)[(a-b)^2(a^2+b^2-c^2)+c^2(b-c)^2+c^2(c-a)^2+(a-b)^2(a+b)(a+b-2c)]+4ab(a-b)^2(a^2+b^2-c^2)+4bc^3(b-c)^2+4ac^3(c-a)^2+4c(a+b)(a-b)^2(a^2+ab+b^2+c^2-2ca-2cb)\geqq 0$
Với $c=min${$a,b,c$}

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi Daniel18: 17-07-2020 - 17:50


#19 tthnew

tthnew

    Sĩ quan

  • Điều hành viên THCS
  • 424 Bài viết
  • Giới tính:Nam
  • Đến từ:Nơi cần đến.
  • Sở thích:Viết blog, viết SOS .v.v.. etc.

Đã gửi 18-07-2020 - 10:48

$\boxed{\text{Bài 17}}$ (Hilsen) Cho $x,y,z>0.$ $$ \sum \frac{y+z}{x}+\left[\frac{8xyz}{(x+y)(y+z)(z+x)}\right]^3 \geqslant 4\left( \sum \frac{x}{y+z} \right)+1 $$

$\boxed{\text{Bài 18}}$ (Làm mạnh bài $17$ bởi tthnew) $${\frac {y+z}{x}}+{\frac {z+x}{y}}+{\frac {x+y}{z}}+\,{\frac {1728 {x}^{ 3}{y}^{3}{z}^{3}}{ \left( x+y \right) ^{2} \left( y+z \right) ^{2} \left( z+x \right) ^{2} \left( x+y+z \right) ^{3}}} \geqslant 4\,{\frac {x}{y+z }}+4\,{\frac {y}{z+x}}+4\,{\frac {z}{x+y}}+1$$

$\boxed{\text{Bài 19}}$ (Hilsen) Cho $x,y,z$ là các số thực dương tùy ý. Chứng minh rằng$:$ $$ \sqrt{\frac{x}{y+z}}+ \sqrt{\frac{y}{x+z}}+ \sqrt{\frac{z}{x+y}} \geqslant \sqrt{4+\frac{9}{2(x+y+z)\left( \frac{1}{x}+\frac{1}{y}+\frac{1}{z} \right)}}  $$

$\boxed{\text{Bài 20}}$ (Hilsen) Cho $a,b,c$ dương thỏa mãn $a+b+c=ab+bc+ca.$ Chứng minh rằng$:$ $$\frac{a^3+b^3+c^3-3abc}{a+b+c}\geqslant a+b+c-3\sqrt[3]{abc} $$


Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi tthnew: 18-07-2020 - 10:53

Blog: https://t-t-h-n-e-w.blogspot.com/ 

Github: https://github.com/tthnew

Các chương trình trên Maple(có code): https://github.com/t...w/MaplePackages

Giới thiệu INEQTOOL program: https://diendantoanh...bđt-trên-maple/


#20 tthnew

tthnew

    Sĩ quan

  • Điều hành viên THCS
  • 424 Bài viết
  • Giới tính:Nam
  • Đến từ:Nơi cần đến.
  • Sở thích:Viết blog, viết SOS .v.v.. etc.

Đã gửi 22-07-2020 - 13:11

Lấy cảm hứng từ Lorian Saceanu.
$\boxed{\text{Bài 21}}$ Cho $a,b,c \geqslant 0.$ Chứng minh rằng$ :$
 
$$\displaystyle \left( a+b+c \right) ^{3}+20\,abc+ \prod \left( a+b-c \right) \geqslant 16\Big[{\frac { \left( ab+ca+bc \right) ^{2}}{a+b+c}}+{\frac {\left( a-b \right) ^{2} \left( b-c \right) ^{2} \left( c-a \right) ^2}{ \left( a+b+c \right) ^{3}}}\Big]$$
$\boxed{\text{Bài 22}}$ $$\displaystyle \frac{2(ab+bc+ca)}{a^2+b^2+c^2} \geqslant 1+\frac{(a+b-c)(b+c-a)(c+a-b)}{abc}+\frac{8 (a-b)^2 (b-c)^2 (c-a)^2}{abc(a^2+b^2+c^2)(a+b+c)}$$
 
 

Cũng có thể xem thêm tại https://tthnew.wordp...lorian-saceanu/


Blog: https://t-t-h-n-e-w.blogspot.com/ 

Github: https://github.com/tthnew

Các chương trình trên Maple(có code): https://github.com/t...w/MaplePackages

Giới thiệu INEQTOOL program: https://diendantoanh...bđt-trên-maple/





0 người đang xem chủ đề

0 thành viên, 0 khách, 0 thành viên ẩn danh