Đến nội dung


Chú ý

Nếu các bạn đăng kí thành viên mà không nhận được email kích hoạt thì hãy kiểm tra thùng thư rác (spam). Nếu không biết cách truy cập vào thùng thư rác thì các bạn chịu khó Google hoặc đăng câu hỏi vào mục Hướng dẫn - Trợ giúp để thành viên khác có thể hỗ trợ.


Hình ảnh

Vẻ đẹp của bất đẳng thức tự sáng tạo và những lời giải của chúng.


  • Please log in to reply
Chủ đề này có 34 trả lời

#21 tthnew

tthnew

    Sĩ quan

  • Điều hành viên THCS
  • 424 Bài viết
  • Giới tính:Nam
  • Đến từ:Nơi cần đến.
  • Sở thích:Viết blog, viết SOS .v.v.. etc.

Đã gửi 28-07-2020 - 16:37

$\boxed{\text{Bài 23}}$ Cho $a,b,c \geqslant 0.$ Chứng minh$:$

a) $${\frac {{a}^{2}}{bc}}\geqslant \frac12\cdot {\frac {8\,{a}^{2}-{b}^{2}-{c}^{2}}{{a}^{2} +{b}^{2}+{c}^{2}}}$$

b) $${\frac {4}{193}}\,{\frac {162\,{a}^{2}+31\,ab+31\,ac+112\,{b}^{2}-62\, bc+112\,{c}^{2}}{{a}^{2}+{b}^{2}+{c}^{2}}} \geqslant \frac{(2a+b+c)^2}{2a^2+(b+c)^2}$$

c) $$\frac{1}{20}\cdot{\frac {5608714\,{a}^{2}-45725206\,ab-45725206\,ac+23475289\,{b} ^{2}+85179380\,bc+23475289\,{c}^{2}}{4379941\,{a}^{2}-522586\,ab- 522586\,ac+4379941\,{b}^{2}-522586\,bc+4379941\,{c}^{2}}} \leqslant \frac{(b+c-a)^2}{a^2+(b+c)^2}$$

Xem thêm tại https://tthnew.wordp...y-test-program/


Blog: https://t-t-h-n-e-w.blogspot.com/ 

Github: https://github.com/tthnew

Các chương trình trên Maple(có code): https://github.com/t...w/MaplePackages

Giới thiệu INEQTOOL program: https://diendantoanh...bđt-trên-maple/


#22 tthnew

tthnew

    Sĩ quan

  • Điều hành viên THCS
  • 424 Bài viết
  • Giới tính:Nam
  • Đến từ:Nơi cần đến.
  • Sở thích:Viết blog, viết SOS .v.v.. etc.

Đã gửi 06-08-2020 - 07:36

Bài cực chuối đê :D

$\boxed{\text{Bài 24}}$ Cho $x,y \geqslant 0.$ Chứng minh: $$(x+y+xy)[8-\frac{1}{8} (x+y+2)^2] \leqslant 9 \left( x+y \right)$$

Bài rất dễ nên xin mọi người đừng nhân bung nó ra :P Lời giải chỉ có chưa đầy $1$ hàng.


Blog: https://t-t-h-n-e-w.blogspot.com/ 

Github: https://github.com/tthnew

Các chương trình trên Maple(có code): https://github.com/t...w/MaplePackages

Giới thiệu INEQTOOL program: https://diendantoanh...bđt-trên-maple/


#23 PDF

PDF

    Sĩ quan

  • Thành viên
  • 306 Bài viết
  • Giới tính:Nam
  • Đến từ:THPT chuyên KHTN
  • Sở thích:Đi tìm vẻ đẹp của Toán học

Đã gửi 06-08-2020 - 18:02

$\boxed{\text{Bài 23}}$ Cho $a,b,c \geqslant 0.$ Chứng minh$:$

a) $${\frac {{a}^{2}}{bc}}\geqslant \frac12\cdot {\frac {8\,{a}^{2}-{b}^{2}-{c}^{2}}{{a}^{2} +{b}^{2}+{c}^{2}}}$$

b) $${\frac {4}{193}}\,{\frac {162\,{a}^{2}+31\,ab+31\,ac+112\,{b}^{2}-62\, bc+112\,{c}^{2}}{{a}^{2}+{b}^{2}+{c}^{2}}} \geqslant \frac{(2a+b+c)^2}{2a^2+(b+c)^2}$$

c) $$\frac{1}{20}\cdot{\frac {5608714\,{a}^{2}-45725206\,ab-45725206\,ac+23475289\,{b} ^{2}+85179380\,bc+23475289\,{c}^{2}}{4379941\,{a}^{2}-522586\,ab- 522586\,ac+4379941\,{b}^{2}-522586\,bc+4379941\,{c}^{2}}} \leqslant \frac{(b+c-a)^2}{a^2+(b+c)^2}$$

Xem thêm tại https://tthnew.wordp...y-test-program/

a) Áp dụng BĐT AM-GM:

$VT\geq \frac{2x}{y+z}$, trong đó $x=a^{2}; y=b^{2}; z=c^{2}$

Cần chứng minh: $\frac{4x}{y+z}\geq \frac{8x-y-z}{x+y+z}$, hay $\frac{(2x-y-z)^{2}}{(y+z)(x+y+z)}\geq 0$ (hiển nhiên đúng)

Dấu bằng xảy ra chỉ khi $a=b=c$. $\square$


Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi PDF: 06-08-2020 - 18:03

$\text{Beauty is the first test, there is no permanent place in the world for ugly mathematics.}\\ \text{--Godfrey Harold Hardy}$


#24 tthnew

tthnew

    Sĩ quan

  • Điều hành viên THCS
  • 424 Bài viết
  • Giới tính:Nam
  • Đến từ:Nơi cần đến.
  • Sở thích:Viết blog, viết SOS .v.v.. etc.

Đã gửi 09-08-2020 - 06:41

$\boxed{\text{Bài 25}}$ Cho $a,b,c \in \mathbb{R}.$ Chứng minh rằng: $${\frac {{a}^{2}}{{b}^{2}}}+{\frac {{b}^{2}}{{c}^{2}}}+{\frac {{c}^{2}} {{a}^{2}}}\geqslant \frac19\cdot{\frac { [ab^3+bc^3+ca^3 -2(a^2b^2 +b^2 c^2 +c^2 a^2) -2abc(a+b+c)] ^{2}}{ {a}^ {2}{b}^{2}{c}^{2} \left( {a}^{2}+{b}^{2}+{c}^{2} \right) }}$$

Hóng sol bài này. Trước chế ra từ một BĐT của cụ Vasile Cîrtoaje nhưng giờ quên cách giải rồi :(

Text


Blog: https://t-t-h-n-e-w.blogspot.com/ 

Github: https://github.com/tthnew

Các chương trình trên Maple(có code): https://github.com/t...w/MaplePackages

Giới thiệu INEQTOOL program: https://diendantoanh...bđt-trên-maple/


#25 tthnew

tthnew

    Sĩ quan

  • Điều hành viên THCS
  • 424 Bài viết
  • Giới tính:Nam
  • Đến từ:Nơi cần đến.
  • Sở thích:Viết blog, viết SOS .v.v.. etc.

Đã gửi 12-08-2020 - 08:51

$\boxed{\text{Bài 14}}$ Cho $a,b,c$ là các số thực. Chứng minh rằng$:$ $$\sum (a^2 -bc) \Big[9\, \left( a+b+c \right) ^{2} \left( ab+ac+bc \right) ^{2}+108\,{a}^{2 }{b}^{2}{c}^{2}-31\,abc \left( a+b+c \right) ^{3}\Big] \geqslant 81\sum ab \prod \left( a-b \right) ^{2} $$

Xin lỗi mọi người$,$ bài này sai với [c = 1, a = 121/2048, b = 387/128]

Tuy nhiên bài sau đây đúng: 

Cho $a,b,c \in \mathbb{R}.$ Chứng minh: $$\sum (a^2 -bc) \Big[9\, \left( a+b+c \right) ^{2} \left( ab+ac+bc \right) ^{2}+108\,{a}^{2 }{b}^{2}{c}^{2}-31\,abc \left( a+b+c \right) ^{3}\Big] \geqslant k \sum ab \prod \left( a-b \right) ^{2} $$ với $k=\frac{81}{4}$ (em đánh thiếu phân số  :unsure: )

Ngoài ra $k_{\max}$ là nghiệm của phương trình $$\Big[{k}^{4}-{\frac {27559}{235}}\,{k}^{3}+{\frac {855036}{235}}\,{k}^{2}- {\frac {9762768}{235}}\,k+{\frac {34012224}{235}}=0,{\frac {1929}{64}} \leq k,k\leq {\frac {9789}{128}}\Big]$$

Tức là $k\approx 76.47525085$
Giá trị chính xác của k (được ghi nhận trên Maple 17)

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi tthnew: 12-08-2020 - 13:57

Blog: https://t-t-h-n-e-w.blogspot.com/ 

Github: https://github.com/tthnew

Các chương trình trên Maple(có code): https://github.com/t...w/MaplePackages

Giới thiệu INEQTOOL program: https://diendantoanh...bđt-trên-maple/


#26 tthnew

tthnew

    Sĩ quan

  • Điều hành viên THCS
  • 424 Bài viết
  • Giới tính:Nam
  • Đến từ:Nơi cần đến.
  • Sở thích:Viết blog, viết SOS .v.v.. etc.

Đã gửi 12-08-2020 - 19:44

$\boxed{\text{Bài 26}}$ (Lấy cảm hứng từ anh KaiRain)

Với $x,y \geqslant 0.$ Nếu $\displaystyle  k\leqslant k_0 \approx 0.3074105436$ với $\displaystyle k_{0}\,$ là một nghiệm của ${X}^{3}+{\frac {151}{150}}\,{X}^{2}+{\frac {13}{240}}\,X-{\frac {169} {1200}}=0,$ thì bất đẳng thức sau đây đúng $$\displaystyle \left( xy+2\,x+2\,y+1 \right) ^{2} \left( x+y+2 \right) ^{2}\geqslant k \left[xy(x+y)+2({x}^{2}+{y}^{2})-18\,xy+5(x+y)+2 \right] ^{2}$$

$$\qquad \qquad+144\,xy \left( {x}^{2}+{y}^{2}+2 \right) \,\, (\text{1})$$ 

Xem bài viết gốc tại: https://artofproblem...ains_inequality


Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi tthnew: 12-08-2020 - 20:58

Blog: https://t-t-h-n-e-w.blogspot.com/ 

Github: https://github.com/tthnew

Các chương trình trên Maple(có code): https://github.com/t...w/MaplePackages

Giới thiệu INEQTOOL program: https://diendantoanh...bđt-trên-maple/


#27 tthnew

tthnew

    Sĩ quan

  • Điều hành viên THCS
  • 424 Bài viết
  • Giới tính:Nam
  • Đến từ:Nơi cần đến.
  • Sở thích:Viết blog, viết SOS .v.v.. etc.

Đã gửi 13-08-2020 - 14:32

$\boxed{\text{Bài 27}}$ Với $a,b,c>0.$ Chứng minh$:$ $$\displaystyle \sum\limits_{cyc} \frac{a(b+c)}{a^2+bc} +\frac{2(a^2+b^2+c^2-ab-bc-ca)}{(a+b+c)^2}+\frac{96(a-b)^2(b-c)^2(c-a)^2}{(a+b+c)^6} \leqslant \frac{(a+b+c)^2}{ab+bc+ca}$$

$\boxed{\text{Bài 28}}$ Cho $a,b,c>0.$ Chứng minh: $$\displaystyle 8(x+y+z)^2 +\frac{16}{81} \cdot \frac{\prod\limits_{cyc} (x+y-2z)^2}{(x^2+y^2+z^2)^2}\geqslant \frac{81}{8} \cdot \frac{(x+y)^2(y+z)^2(z+x)^2}{(x^2+y^2+z^2)^2}+\frac{712}{81} \cdot \frac{\sum a^4(a-c)(a-b)}{(a^2+b^2+c^2)^2}$$


Blog: https://t-t-h-n-e-w.blogspot.com/ 

Github: https://github.com/tthnew

Các chương trình trên Maple(có code): https://github.com/t...w/MaplePackages

Giới thiệu INEQTOOL program: https://diendantoanh...bđt-trên-maple/


#28 tthnew

tthnew

    Sĩ quan

  • Điều hành viên THCS
  • 424 Bài viết
  • Giới tính:Nam
  • Đến từ:Nơi cần đến.
  • Sở thích:Viết blog, viết SOS .v.v.. etc.

Đã gửi 17-08-2020 - 20:23

$\boxed{\text{Bài 29}}$ (BestChoice123)

Cho $a,b,c\geqslant 0.$ $$\displaystyle \sum \frac{a^2+b^2}{a+b} \leqslant \frac{2[ a^4+b^4+c^4 +(ab+bc+ca)^2]}{(a+b)(b+c)(c+a)}$$

Điều đặc biệt là nếu đặt $$\text{Schur}[i]=\sum a^{i-2} (a-b)(a-c)$$ bất đẳng thức mạnh hơn sau đây vẫn đúng vá nó chỉ là $\Big\{\text{Schur}[3] +\text{AM-GM}\Big\} \cdot \text{Schur}[4]:$

$$\displaystyle \sum \frac{a^2+b^2}{a+b} +\frac{27}{4} \cdot \frac{\text{Schur}[4]}{(a+b+c)^3} \leqslant \frac{2[ \,a^4+b^4+c^4 +(ab+bc+ca)^2\,]}{(a+b)(b+c)(c+a)}\,\,(\,\text{tthnew}\,)$$

 


Blog: https://t-t-h-n-e-w.blogspot.com/ 

Github: https://github.com/tthnew

Các chương trình trên Maple(có code): https://github.com/t...w/MaplePackages

Giới thiệu INEQTOOL program: https://diendantoanh...bđt-trên-maple/


#29 Daniel18

Daniel18

    Trung sĩ

  • Thành viên
  • 171 Bài viết

Đã gửi 17-08-2020 - 20:50

$\boxed{\text{Bài 29}}$ (BestChoice123)
Cho $a,b,c\geqslant 0.$ $$\displaystyle \sum \frac{a^2+b^2}{a+b} \leqslant \frac{2[ a^4+b^4+c^4 +(ab+bc+ca)^2]}{(a+b)(b+c)(c+a)}$$
Điều đặc biệt là nếu đặt $$\text{Schur}[i]=\sum a^{i-2} (a-b)(a-c)$$ bất đẳng thức mạnh hơn sau đây vẫn đúng vá nó chỉ là $\Big\{\text{Schur}[3] +\text{AM-GM}\Big\} \cdot \text{Schur}[4]:$
$$\displaystyle \sum \frac{a^2+b^2}{a+b} +\frac{27}{4} \cdot \frac{\text{Schur}[4]}{(a+b+c)^3} \leqslant \frac{2[ \,a^4+b^4+c^4 +(ab+bc+ca)^2\,]}{(a+b)(b+c)(c+a)}\,\,(\,\text{tthnew}\,)$$

$LHS-RHS=\frac{(a-b)^2(2(a^2+b^2)+ab-c^2-ca-cb)+2c^2(b-c)^2+2c^2(c-a)^2+(a-b)^2(a+b)(a+b-2c)+c(a-b)^2(a+b-2c)+(a-b)^2(a^2+ab+b^2-2ca-2cb+c^2)}{2(a+b)(b+c)(c+a)}\geqq 0$
Với $c=min${$a,b,c$}

#30 Daniel18

Daniel18

    Trung sĩ

  • Thành viên
  • 171 Bài viết

Đã gửi 18-08-2020 - 21:00

$\boxed{\text{Bài 29}}$ (BestChoice123)
Điều đặc biệt là nếu đặt $$\text{Schur}[i]=\sum a^{i-2} (a-b)(a-c)$$ bất đẳng thức mạnh hơn sau đây vẫn đúng vá nó chỉ là $\Big\{\text{Schur}[3] +\text{AM-GM}\Big\} \cdot \text{Schur}[4]:$
$$\displaystyle \sum \frac{a^2+b^2}{a+b} +\frac{27}{4} \cdot \frac{\text{Schur}[4]}{(a+b+c)^3} \leqslant \frac{2[ \,a^4+b^4+c^4 +(ab+bc+ca)^2\,]}{(a+b)(b+c)(c+a)}\,\,(\,\text{tthnew}\,)$$

Có $\text{Schur}[4] \geqq 0$
Mà $(a+b)(b+c)(c+a)\leqq \frac{8}{27}(a+b+c)^3$
Mặt khác
$\sum \frac{a^2+b^2}{a+b}+\frac{2\text{Schur}[4]}{(a+b)(b+c)(c+a)}=RHS$

#31 tthnew

tthnew

    Sĩ quan

  • Điều hành viên THCS
  • 424 Bài viết
  • Giới tính:Nam
  • Đến từ:Nơi cần đến.
  • Sở thích:Viết blog, viết SOS .v.v.. etc.

Đã gửi 26-08-2020 - 21:04

$\boxed{\text{Bài 6}}$ Propose by Peteroldar :

Cho $a,b,c>0$ CMR $$\frac{a}{b}+\frac{b}{c}+\frac{c}{a}\ge \frac{9(a^2+b^2+c^2)}{(a+b+c)^2}+\frac{a^2+b^2+c^2-ab-bc-ca}{3(ab+bc+ca)}$$

 

Bài này có vẻ khấm khá hơn :D

 

Đây là dạng làm mạnh của bài thầy Cẩn

$$\dfrac{a}{b}+\dfrac{b}{c}+\dfrac{c}{a}\geqslant \frac{9(a^2+b^2+c^2)}{(a+b+c)^2}+k \cdot \frac{a^2+b^2+c^2-ab-bc-ca}{(ab+bc+ca)}$$

Sử dụng chương trình Bottema $k_{\max} \approx 0.457270580893892$ là nghiệm của phương trình $4\,{k}^{4}-4\,{k}^{3}+33\,{k}^{2}-54\,k+18=0$

Với $k=0.45=\frac{9}{20}$ ta có $$\dfrac{a}{b}+\dfrac{b}{c}+\dfrac{c}{a}\geqslant \frac{9(a^2+b^2+c^2)}{(a+b+c)^2}+\dfrac{9}{20} \cdot \dfrac{a^2+b^2+c^2-ab-bc-ca}{(ab+bc+ca)}$$


Blog: https://t-t-h-n-e-w.blogspot.com/ 

Github: https://github.com/tthnew

Các chương trình trên Maple(có code): https://github.com/t...w/MaplePackages

Giới thiệu INEQTOOL program: https://diendantoanh...bđt-trên-maple/


#32 tthnew

tthnew

    Sĩ quan

  • Điều hành viên THCS
  • 424 Bài viết
  • Giới tính:Nam
  • Đến từ:Nơi cần đến.
  • Sở thích:Viết blog, viết SOS .v.v.. etc.

Đã gửi 31-08-2020 - 14:59

$\boxed{\text{Bài 30}}$ Cho $a,b,c$ là các số thực không âm sao cho không có $2$ số nào đồng thời bằng không. Chứng minh rằng$:$

$${\dfrac {35{x}^{2}+7x(y+z)+23yz}{35(x^2+y^2+z^2)+37(xy+yz+zx)}}\leqslant \sqrt {{\dfrac {{x}^{2}+yz}{6\,{y}^{2} +6\,yz+6\,{z}^{2}}}}\,\,\,\,\, (\,\text{tthnew}\,)$$

 

Note


Blog: https://t-t-h-n-e-w.blogspot.com/ 

Github: https://github.com/tthnew

Các chương trình trên Maple(có code): https://github.com/t...w/MaplePackages

Giới thiệu INEQTOOL program: https://diendantoanh...bđt-trên-maple/


#33 tthnew

tthnew

    Sĩ quan

  • Điều hành viên THCS
  • 424 Bài viết
  • Giới tính:Nam
  • Đến từ:Nơi cần đến.
  • Sở thích:Viết blog, viết SOS .v.v.. etc.

Đã gửi 02-09-2020 - 08:17

$\boxed{\text{Bài 31}}$ Cho $a,b,c>0,a+b+c=1,ab+bc+ca=\frac{1-t^2}{3} \quad (\, 0\leqslant t \leqslant 1\,).$ Chứng minh rằng$:$ 

 

$${\dfrac {{a}^{2}}{b}}+{\dfrac {{b}^{2}}{c}}+{\dfrac {{c}^{2}}{a}}\geqslant {\dfrac {3\,{t}^{4}-4\,{t}^{3}-5\,{t}^{2}-2\,t-1}{ \left( t-1 \right) \left( 1+2\,t \right)  \left( t+1 \right) }}$$

Đẳng thức xảy ra khi $$\left\{\begin{matrix} abc =\dfrac{1}{27} \cdot {\dfrac { \left( 1+2\,t \right)  \left( 1-t \right) ^{3} \left( t+1 \right) ^{3}}{{t}^{4}-{t}^{3}+2\,t+1}} \\ (a-b)(b-c)(c-a) \leqslant 0 \end{matrix}\right.$$

Spoiler

PS. Mình độc lập nghĩ ra bài này$,$ nếu nó đã trùng với ai thì các bạn gửi link cho mình nhé. Cảm ơn các bạn. :)


Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi tthnew: 02-09-2020 - 08:45

Blog: https://t-t-h-n-e-w.blogspot.com/ 

Github: https://github.com/tthnew

Các chương trình trên Maple(có code): https://github.com/t...w/MaplePackages

Giới thiệu INEQTOOL program: https://diendantoanh...bđt-trên-maple/


#34 tthnew

tthnew

    Sĩ quan

  • Điều hành viên THCS
  • 424 Bài viết
  • Giới tính:Nam
  • Đến từ:Nơi cần đến.
  • Sở thích:Viết blog, viết SOS .v.v.. etc.

Đã gửi 20-09-2020 - 09:31

Khuấy động box này chút nào!

$\boxed{\text{Bài 32}}$  (xzlbqCho $a,b,c \geqslant 0;ab+bc+ca>0.$ Chứng minh:

$$(ab+bc+ca)\Big(\dfrac{1}{(a+b)^2}+\dfrac{1}{(b+c)^2}+\dfrac{1}{(c+a)^2}\Big) \geqslant \dfrac{9}{4} \sqrt{\dfrac{(a^2b+b^2c+c^2a)(ab^2+bc^2+ca^2)}{(ab+bc+ca)(a^2b^2+b^2c^2+c^2a^2)}}$$

 


Blog: https://t-t-h-n-e-w.blogspot.com/ 

Github: https://github.com/tthnew

Các chương trình trên Maple(có code): https://github.com/t...w/MaplePackages

Giới thiệu INEQTOOL program: https://diendantoanh...bđt-trên-maple/


#35 ma29

ma29

    Binh nhì

  • Thành viên
  • 12 Bài viết
  • Giới tính:Nam
  • Đến từ:VMF

Đã gửi 18-10-2020 - 10:10

mấy bạn giống thần quá :)


để có thể lấy xấp xĩ Riemann được tốt hơn và tốt hơn ta sẽ lấy phép chia mịn hơn và mịn hơn





1 người đang xem chủ đề

0 thành viên, 1 khách, 0 thành viên ẩn danh