Chủ đề này có 1 trả lời

[Explorer]

Cho $(x_{n}) : \left\{\begin{matrix}x_{1}=1,x_{2}=\frac{1}{2} \\ x_{n+2} =\sqrt{2+2x_{n+1}-x_{n}} \end{matrix}\right.$ với $n\geq 1$

Chứng minh dãy số có giới hạn hữu hạn và tìm giới hạn

 

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi Explorer: 13-01-2023 - 05:27

[nguyenhien1212]

Cho $(x_{n}) : \left\{\begin{matrix}x_{1}=1,x_{2}=\frac{1}{2} \\ x_{n+2} =\sqrt{2+2x_{n+1}-x_{n}} \end{matrix}\right.$ với $n\geq 1$

Chứng minh dãy số có giới hạn hữu hạn và tìm giới hạn

Ta có: $x_3=\sqrt{2}$.

Bằng quy nạp ta có: $1<x_n<2$ với $n \geq 3$

Mặt khác: $x_3>x_2$

Ta quy nạp: $x_{n+1}>x_n$ với mọi $n \geq 2$

Thật vậy: $x_{n+2}-x_{n+1}=\dfrac{2+x_{n+1}-x_{n+1}^2+x_{n+1}-x_n}{\sqrt{2+2x_{n+1}-x_n}+x_{n+1}}>0$

Do đó: $x_{n+2}>x_{n+1}$.

Vì $x_n$ là dãy tăng và bị chặn nên $x_n$ tồn tại giới hạn.

Đặt $L=\lim x_n$. Cho $n\rightarrow \infty$: $L=\sqrt{2+L} \Rightarrow L=2$

Vậy $\lim x_n=2$

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi nguyenhien1212: 14-01-2023 - 09:55