Cho $(x_{n}) : \left\{\begin{matrix}x_{1}=1,x_{2}=\frac{1}{2} \\ x_{n+2} =\sqrt{2+2x_{n+1}-x_{n}} \end{matrix}\right.$ với $n\geq 1$
Chứng minh dãy số có giới hạn hữu hạn và tìm giới hạn
Ta có: $x_3=\sqrt{2}$.
Bằng quy nạp ta có: $1<x_n<2$ với $n \geq 3$
Mặt khác: $x_3>x_2$
Ta quy nạp: $x_{n+1}>x_n$ với mọi $n \geq 2$
Thật vậy: $x_{n+2}-x_{n+1}=\dfrac{2+x_{n+1}-x_{n+1}^2+x_{n+1}-x_n}{\sqrt{2+2x_{n+1}-x_n}+x_{n+1}}>0$
Do đó: $x_{n+2}>x_{n+1}$.
Vì $x_n$ là dãy tăng và bị chặn nên $x_n$ tồn tại giới hạn.
Đặt $L=\lim x_n$. Cho $n\rightarrow \infty$: $L=\sqrt{2+L} \Rightarrow L=2$
Vậy $\lim x_n=2$
Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi nguyenhien1212: 14-01-2023 - 09:55