Chủ đề này có 1 trả lời

[toanhoc9]

 Có 6 chiếc hộp, người ta bỏ vào mỗi hộp một số hạt đậu bất kì lần lượt là $k_{1};k_{2};k_{3};k_{4};k_{5};k_{6}$ sao cho

$k_{1}^{3}+k_{2}^{3}+k_{3}^{3}+k_{4}^{3}+k_{5}^{3}+k_{6}^{3}=2024$. Sau đó thực hiện thuật toán: Mỗi lần thực hiện chọn ngẫu nhiên ba hộp bất kỳ rồi bỏ vào mỗi hộp 1 hạt đậu. Hỏi sau một số lần thực hiện thì số hạt đậu trong 6 hộp có bằng nhau không?

[Moon Loves Math]

Giả sử sau một số lần thực hiện nào đó, thì số đậu trong 6 hộp là bằng nhau.

Nếu gọi tổng số đậu ban đầu là $A$, thì ta có: $A+3p=6q$.

Với $p$ là số lần thực hiện thuật toán: "Chọn ngẫu nhiên 3 hộp, thêm vào mỗi hộp 1 hạt đậu".

Và $q$ là số đậu trong mỗi hộp khi 6 hộp có cùng số đậu. (với $p,q\in \mathbb{N}$)

Theo điều giả sử, thì $A\equiv 0 \ (mod \ 3)$

Mặt khác, ta có tính chất sau: $a^3\equiv a \ (mod \ 3)$

Thật vậy, $a^3-a\equiv (a-1)a(a+1)\equiv 0\ (mod \ 3)$.

Từ dữ kiện giả thiết, suy ra $A=k_1+k_2+...+k_6\equiv k_1^3+k_2^3+...k_6^3\equiv 2024 \equiv 2 \ (mod \ 3)$, trái với điều đã giả sử.

Vậy suy ra điều ta giả sử là sai. Sau một số lần thực hiện nào đó, thì số đậu trong 6 hộp không thể bằng nhau.