Cho tam giác ABC nội tiếp (O) các đường cao AD,BE,CF và trực tâm H. M,N,P lần lượt là trung điểm của BC,CA,AB. X,Y,Z là các điểm nằm trên đường tròn Euler của tam giác ABC. CMR: MX,NY,PZ đồng quy trên OH <=> DX,EY,FZ đồng quy trên OH
#1
Đã gửi 15-01-2023 - 22:20
#2
Đã gửi 18-01-2023 - 16:51
Đổi mô hình về tam giác $MNP$, có $(O_c)$ là tâm ngoại và $K$ là trực tâm; $DX\parallel EF, EY\parallel FD, FZ\parallel DE$.
Dễ thấy $OH\equiv O_cK$.
Chiều thuận: Giả sử $MX,NY,PZ$ đồng quy tại $I$ thuộc $O_cK$.
Kẻ đường kính $DD',EE',FF'$ của $(O)$.
Dễ dàng chỉ ra $MD',NE',PF'$ là ba đường cao của $\Delta MNP$.
Áp dụng định lý Pascal cho bộ $\begin{vmatrix}M&D &E'\\N &E &D' \end{vmatrix}$ suy ra $EM\cap DN\subset O_cK$.
Lại có áp dụng định lý Pascal cho bộ $\begin{vmatrix}D & Y & M\\ E & X & N \end{vmatrix}$ suy ra $DX\cap EY, I, EM\cap DN$ thẳng hàng.
Mà $I\in O_cK$ nên $DX, EY, O_cK$ đồng quy.
Tương tự $EY,FZ,O_cK$ đồng quy. Vậy $DX,EY,FZ$ đồng quy tại điểm thuộc $O_cK$.
Chiều đảo: Hoàn toàn tương tự.
- Explorer và Moon Loves Math thích
Được gắn nhãn với một hoặc nhiều trong số những từ khóa sau: hình học, euler, nội tiếp, trực tâm, đường cao, trung điểm, đồng quy, hình
Solved
Toán Trung học Cơ sở →
Hình học →
Chứng minh PQ.CB=DC.QN và O là trung điểm của PQ.Bắt đầu bởi nonamebroy, Hôm qua, 10:24 hình học |
|
|||
Solved
Toán Trung học Cơ sở →
Hình học →
Chứng minh tứ giác MAOB nội tiếp đường tròn.Bắt đầu bởi Phuockq, 07-04-2024 hình học |
|
|||
Toán thi Học sinh giỏi và Olympic →
Hình học →
Chứng minh B,M,N,C đồng viênBắt đầu bởi VGNam, 22-02-2024 hình học |
|
|||
Solved
Toán thi Học sinh giỏi và Olympic →
Hình học →
Chứng minh ba điểm E, F, H thẳng hàng.Bắt đầu bởi Saturina, 16-02-2024 hình học |
|
|||
Toán thi Học sinh giỏi và Olympic →
Hình học →
a) Chứng minh rằng K thuộc đường tròn đường kính BC . b) Chứng minh rằng IMC KGJ 45oBắt đầu bởi Saturina, 16-02-2024 hình học |
|
1 người đang xem chủ đề
0 thành viên, 1 khách, 0 thành viên ẩn danh