Chủ đề này có 6 trả lời

[nguyetnguyet829]

Cho $a, b, c, d$ là các số tự nhiên khác $0$ thỏa mãn $ab=cd$ 

Chứng minh rằng $a+b+c+d$ là hợp số

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi perfectstrong: 19-01-2023 - 03:53
Tiêu đề

[UserNguyenHaiMinh]

$ab=cd\Rightarrow \frac{a}{c}=\frac{d}{b}=k\left(k>0\right)$

$\Rightarrow a=ck,d=bk$

$a+b+c+d=ck+b+c+bk=c\left(k+1\right)+b\left(k+1\right)=\left(c+b\right)\left(k+1\right)$ $(1)$

Do $a,b,c,d,k>0$ nên từ $(1)$ suy ra $a+b+c+d$ là hợp số

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi UserNguyenHaiMinh: 18-01-2023 - 20:38

[Moon Loves Math]

$ab=cd\Rightarrow \frac{a}{c}=\frac{b}{d}=k\left(k\in ℕ^∗\right)$

 

Nhầm rồi kìa bạn ơi, đoạn này phải là $ab=cd\Rightarrow \frac{a}{c}=\frac{d}{b}$ chứ 

[UserNguyenHaiMinh]

Nhầm rồi kìa bạn ơi, đoạn này phải là $ab=cd\Rightarrow \frac{a}{c}=\frac{d}{b}$ chứ 

Cảm ơn b đã nhắc mình đã sửa lại rồi 

[Hoang72]

$k$ chưa chắc là số nguyên mà bạn

Lời giải khác: Giả sử $p=a+b+c+d$ là số nguyên tố.

Ta có: $p\mid d(a+b+c+d) = ad + bd + ab + d^2 = (d+a)(d+b)$

$\Rightarrow p\mid d+a$ hoặc $p\mid d+b$.

Điều này là vô lí vì $0 < d+a<p$ và $0 < p < d+b$.

Vậy $a+b+c+d$ là hợp số.

[nguyetnguyet829]

C

 

$k$ chưa chắc là số nguyên mà bạn

Lời giải khác: Giả sử $p=a+b+c+d$ là số nguyên tố.

Ta có: $p\mid d(a+b+c+d) = ad + bd + ab + d^2 = (d+a)(d+b)$

$\Rightarrow p\mid d+a$ hoặc $p\mid d+b$.

Điều này là vô lí vì $0 < d+a<p$ và $0 < p < d+b$.

Vậy $a+b+c+d$ là hợp số.

Có cách giải khác không ạ, mình chưa hiểu lắm

[Hoang72]

Có cách giải nữa gần giống bạn UserNguyenHaiMinh:

Đặt $d_1 = \gcd(a,c), d_2 = \gcd(b,d)$.

Thế thì tồn tại $a',b',c',d'$ mà $a = d_1a', c = d_1c', b = d_2b', d = d_2d'$ và $(a',c') = (b',d') = 1$.

Có $ab=cd\Rightarrow a'b' = c'd'$.

Do đó $c'\mid a'b'$, mà $(a',c') = 1$ nên $c'\mid b'$.

Tương tự do $b'\mid c'd'$ mà $(b',d') = 1$ nên $b'mid c'$.

Dẫn đến $b'=c'$, và $a'=d'$.

Vì vậy: $a+b+c+d = d_1a' + d_2b' + d_1c' + d_2d' = d_1a' + d_2c' + d_1c' + d_2a' = (a'+b')(d_1+d_2)$ là hợp số. (đpcm)

P/s: Lời giải trên, bạn chưa hiểu chỗ nào thì có thể nhắn tin riêng với mình